Jak funguje pravidlo pro dělitelnost jedenácti

10.5.2015

Pravidlo zní: dané číslo je dělitelné jedenácti tehdy, když je rozdíl součtu lichých a sudých číslic dělitelný jedenácti nebo roven nule.

Číslo a se v desítkové číselné soustavě zapisuje $a_n...a_2a_1a_0$, kde koeficienty $a_i$ jsou číslice čísla a (číslo a má n + 1 číslic). Platí vztah:

$$a = {10^n}a_n + ... + 100a_2 + 10a_1 + a_0$$ (1)

Libovolnou mocninu deseti lze vyjádřit následujícím vztahem:

$$10^k=[∑↙{i=0}↖{k-1}\{(-1)^i * 10^{k-1-i} * 11\}] + [(-1)^k]$$ (2)

Tento vztah říká, že každou mocninu deseti lze rozdělit na součet nějakého čísla dělitelného jedenácti (první hranatá závorka) a jedničky nebo mínus jedničky (druhá hranatá závorka). Jednička to bude v případě sudé mocniny a mínus jednička při liché mocnině desíti.

Vzorec (2) lze odvodit za pomoci jednoduššího vztahu:

$$10^k= 10^{k-1} * 11 - 10^{k-1}$$ (3)

Rekurzivním opakováním vztahu (3) na nějakou mocninu deseti dosáhneme rozložení do tvaru (2).

Přepíšeme (1) za pomoci (2):

$$a=(∑↙{i=0}↖{n-1} [(-1)^i * 10^{n-1-i} * 11] + (-1)^n) a_n + ... + (10 * 11 - 11 + 1) a_2 + (11 - 1) a_1 + a_0$$

Pravou stranu můžeme rozdělit na část dělitelnou jedenácti a zbytek:

$$a=[∑↙{i=0}↖{n-1} \{(-1)^i * 10^{n-1-i} * 11\} a_n + ... + (10 * 11 - 11) a_2 + 11 a_1] + [(-1)^n * a_n+ ... + a_2 - a_1 + a_0]$$ (4)

Aby bylo číslo a v (4) dělitelné jedenácti musí být číslo ve druhé hranaté závorce dělitelné jedenácti nebo rovné nule. Všimneme si, že se jedná o ciferný součet čísla a, ovšem s tou zvláštností, že se u jednotlivých číslic mění znaménko. U číslic na lichých řádech je záporné a na sudých kladné (nejnižší řád v čísle je nultý $10^0=1$). Z těchto úvah přímo plyne pravidlo, které jsme chtěli dokázat.