Jak funguje pravidlo pro dělitelnost třemi

Pravidlo zní: dané číslo je dělitelné třemi tehdy, když je třemi dělitelný jeho ciferný součet.

Číslo a se v desítkové číselné soustavě zapisuje $a_n...a_2a_1a_0$, kde koeficienty $a_i$ jsou číslice čísla a (číslo a má n + 1 číslic). Platí vztah:

$$a = 10^n a_n + ... + 100 a_2 + 10 a_1 + a_0$$ (1)

Vztah (1) je možné přepsat následovně:

$$a = [a_n + (10^n - 1) a_n] +... + (a_2 + 99a_2) + (a_1 + 9a_1) + a_0$$ (2)

Přeskupením sčítanců v (2) dostaneme:

$$a = [a_n + ... + a_2 + a_1 + a_0] + [(10^n - 1) a_n + ... + 99a_2 + 9a_1]$$ (3)

Výraz v první hranaté závorce je ciferný součet čísla a. Je zřejmé, že výraz v druhé hranaté závorce je dělitelný třemi (a také devíti). Z rovnice (3) je vidět, že pokud je ciferný součet dělitelný 3, je také číslo a dělitelné 3. Z uvedeného je také zřejmé, proč platí podobné pravidlo pro dělitelnost číslem 9.