Odvození vzorce pro součet členů geometrické posloupnosti

6.8.2017

Geometrickou posloupností se nazývá taková posloupnost, pro kterou platí, že podíl dvou po sobě jdoucích členů je roven konstantě - označíme si ji q (q je reálné číslo různé od jedné). Potom je zřejmé, že známe-li q a první člen posloupnosti $a_1$, potom pro libovolný člen posloupnosti $a_n$ platí:

$$a_n = a_1 q^{n-1}$$ (1)

Součet $S_N$ prvních N členů této posloupnosti bude roven:

$$S_N = a_1 ∑↙{k=1}↖N q^{k-1}$$

Pokud od tohoto součtu odečteme prvek číslo N, získáme součet $S_{N-1}:$

$$S_{N-1} = S_N - a_N$$

Prvek $a_N$ na pravé straně rovnosti vyjádříme pomocí prvního prvku $a_1$ (vztah 1):

$$S_{N-1} = S_N - a_1 q^{N-1}$$

Obě strany rovnosti vynásobíme konstantou q:

$$q S_{N-1} = q S_N - q a_1 q^{N-1}$$

Upravíme druhý člen na pravé straně ($q q^{N-1}=q^N$):

$$q S_{N-1} = q S_N - a_1 q^N$$ (2)

Nyní si uvědomíme, že člen $q S_{N-1}$ na levé straně je roven $S_N - a_1$. Ukážeme si to tak, že si rozepíšeme součet $S_{N-1}$ a následně ho vynásobíme q:

$$S_{N-1} = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + ... + a_1 q^{N-2}$$

$$q S_{N-1} = a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + ... + a_1 q^{N-1} = S_N - a_1$$

Vrátíme se zpět k rovnosti (2), do které dosadíme odvozený vztah:

$$S_N - a_1 = q S_N - a_1 q^N$$

Z rovnice jednoduchými úpravami vyjádříme $S_N$:

$$S_N - q S_N = a_1 - a_1 q^N$$

$$S_N (1 - q) = a_1 (1 - q^N)$$

$$S_N = a_1 {{1 - q^N}/{1 - q}}$$

Získali jsme tedy vzorec pro výpočet součtu prvních N prvků geometrické posloupnosti. Zde bychom mohli skončit, ale ještě se trochu na ten náš vzorec podíváme.

Budeme upravovat pravou stranu:

$$a_1 {{1 - q^N}/{1 - q}} = a_1 {{q^N - 1}/{q - 1}}$$

Vydělíme mnohočleny ve zlomku:

$${q^N - 1}/{q - 1} = q^{N-1} + {q^{N-1} - 1}/{q - 1}$$

Získali jsme rekurentní vzorec pro rozklad podílu. Pokud ho budeme aplikovat tolikrát dokud mocnina u q v čitateli nebude 1, získáme:

$${q^N - 1}/{q - 1} = q^{N-1} + q^{N-2} + q^{N-3} + ... + q^2 + q + 1$$

Vrátíme zpět $a_1$, resp. předchozí rovnost vynásobíme $a_1$:

$$a_1 {q^N - 1}/{q - 1} = a_1 q^{N-1} + a_1 q^{N-2} + a_1 q^{N-3} + ... + a_1 q^2 + a_1 q + a_1$$

Pravá strana není nic jiného než rozepsaný součet $S_N$ prvních N členů posloupnosti.