Odvození postupu pro konstrukci kružnice opsané libovolnému mnohoúhelníku

1.1.2021

Pokud si někdo, jako třeba i já, nepamatuje postup při konstrukci opsané (a nebo vepsané) kružnice trojúhelníka, je dobré si ho umět rychle odvodit jednoduchou úvahou. Připomeňme si na začátek některé pojmy.

Mnohoúhelník

Mnohoúhelník je v podstatě množina na sebe navazujících úseček zvaných strany. Body, ve kterých jedna úsečka navazuje na druhou, se nazývají vrcholy. Platí, že v každém vrcholu se setkávají právě dvě strany. Podle počtu vrcholů a stran mnohoúhleník nazveme například trojúhelník, pětiúhelník a podobně. Pokud mají všechny strany stejnou velikost, pak o takovém mnohoúhelníku řekneme, že je pravidelný (například čtverec je pravidelný čtyřúhelník).

Kružnice

Kružnice je množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od daného bodu zvaného střed kružnice. Onu stejnou vzdálenost nazýváme poloměr kružnice.

Kružnice opsaná mnohoúhelníku

Opsaná kružnice prochází všemi vrcholy daného mnohoúhelníku (typ úlohy "narýsujte kružnici opsanou obdélníku ABCD"). Můžeme také říci, že všechny vrcholy mnohoúhelníku leží na kružnici (typ úlohy "sestrojte čtverec, jehož vrcholy leží na kružnici k").

Jak kružnici sestrojit

Pokud mají všechny vrcholy mnohoúhelníku ležet na kružnici, pak pro ně samozřejmě platí výše zmíněná vlastnost bodů kružnice, a všechny musí ležet ve stejné vzdálenosti od středu opsané kružnice. To samozřejmě platí i pro každou dvojici vrcholů při každé straně mnohoúhelníka.

Vezměme si jednu ze stran označenou třeba $AB$ (viz. obráze dole) a zeptejme se, kde se vzhledem k vrcholům na jejích koncích musí nacházet střed kružnice $S$, aby vdálenosti $|AS|$ a $|BS|$ byly stejné.

Snadno uvidíme, že se střed kružnice musí nacházet na ose strany $AB$. Stejně tak se musí nacházet na osách všech ostatních stran mnohoúhelníku a tedy hledaný střed opsané kružnice musí být totožný s průsečíkem os všech stran. Pokud se ovšem všechny osy neprotnou v jednom bodě, daný mnohoúhelník opsanou kružnici nemá (neexistuje kružnice, která by procházela všemi vrcholy mnohoúhelníku).