MATEMATIKA ELEKTRONIKA POČÍTAČE HRY OSOBNÍ KONTAKT

ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTIÚLOHYPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA VŠMATURITNÍ ZKOUŠKAPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA SŠNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLADOUČOVÁNÍPřidat úlohu

Maturitní zkouška z matematiky+ - rok 2019

17.12.2019

V tomto textu projdu maturitní zkoušku z matematiky z roku 2019 - jedná se o tzv. variantu Matematika+. Zadání/výsledky zde. Netuším, jak je to s autorskými právy. Proto zde zadání nebudu uvádět a pouze poskytnu webový odkaz na dané PDFko: zadání pro rok 2019 je zde.

Řešení úloh: U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10 U11 U12 U13 U14 U15 U16 U17 U18 U19 U20 U21 U22 U23

Úloha 1

Výraz upravíme a zkrátíme:

Úloha 2

Vytkneme $10^{n-2}$ a upravujeme:

Úloha 3

Z grafu vyčteme reálné a imaginární části obou komplexních čísel a spočítáme $z=z_1*z_2$, dále $|z|$, $cosφ$ a $sinφ$:

A tedy goniometrický tvar čísla $z$:

Úloha 4

Zadané informace zapíšeme rovnicí, kterou budeme řešit. Hledané číslo označím $x$:

Úloha 5

Mám množinu $A$ těch, kteří mluví anglicky, a množinu $N$ těch, kteří mluví německy. Potom množina pracovníků mluvících oběma jazyky $AN$ je jejich průnikem $AN=A∩N$. Množinu všech pracovníků označím $V$. Máme určit podíl ${|AN|}/{|V|}$. Z informací, které máme, počítáme:

Úloha 6

Obsah jedné ampule v centilitrech označím $A$. Potom ze zadaných údajů počítáme:

Úloha 7

Rovnici upravíme:

Úloha 8

Patu výšky z vrcholu $B$ označím $V_b$ a podobně patu výšky z vrcholu $C$ označím $V_c$. Je zřejmé, že $V_c$ leží na průsečíku přímky $p$ a úsečky $AB$. Dále vrchol $C$ musí ležet na přímce kolmé na stranu $AB$ a procházející bodem $V_c$, tuto přímku označím třeba $q$.

Dále samozřejmě platí, že trojúhelník $ABV_b$ je pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu $V_b$. Bod $V_b$ tedy získám jako průnik přímky $p$ a Thaletovy kružnice se středem ve středu strany $AB$ a poloměrem ${|AB|}/2$. Tyto body získám dva. Hledané vrcholy $C$ (budou samozřejmě taktéž dva) potom leží na průsečíku přímky $q$ a polopřímky $AV_b$.

Úloha 9

První část. Délku hrany krychle označíme $a$ a užijeme Pythagorovy věty v pravoúhlém trojúhelníku $ABX$:

Druhá část. Délka úsečky $HX$ je délkou přepony v pravoúhlém trojúhleníku $HFX$ a tak opět užijeme Pythagorovy věty:

Úloha 10

Členy aritmetické posloupnosti označíme $a_1, a_2, a_3$, diferenci $d$. Otázka zní, čemu se rovná $a_3-a_1=a_1+2d-a_1=2d$. Zapíšeme známé údaje a spočítáme hledanou hodnotu $2d$:

Úloha 11

V zadání je řečeno, že pro uvedenou funkci $f$ platí $|f(0)|=|x_0|$, kde pro $x_0$ platí $f(x_0)=0$. Nejprve tedy spočteme $f(0)$:

Nyní spočítáme $x_0$:

Porovnáme absolutní hodnoty $|f(0)|=|x_0|$ a stanovíme, čemu se rovná parametr $a$:

Úloha 12

Ze zadání známe $a_1=1$, $a_n=a_1*q^{n-1}=q^{n-1}$ a $a_n=a_{n+1}+a_{n+2}$.

První část. Poslední vztah si rozepíšeme a upravíme:

Druhá část. Kvocient je menší než $1$ a proto má posloupnost konečný součet, který spočítáme:

Třetí část. Obsah trojúhelníku $CDE$ spočítáme snadno. Délka strany $CD$ je rovna jedné a stejně tak výška na tuto stranu je rovna jedné (je stejná jako např. délka úsečky $AD$) a tudíž:

Úloha 13

První část. Pro $x≠0$:

Druhá část.

Třetí část. Funkce ${log}_{0.5}(x-1)$ je klesající, protože základ logaritmu je menší než $1$. Tím pádem musí platit $x-1<1$ neboli $x<2$. Taktéž argument funkce musí být kladné číslo, tudíž musí platit $x>1$. Sloučením obou podmínek získáme $x∈(1;2)$.

Úloha 14

První část. Spočítáme, kolika způsoby můžeme vybrat trojici z $46$ lidí a od tohoto počtu odečteme počet možností, ve kterých jsme vybrali některou ze dvojic. Jinými slovy odečteme počet možností, kterými můžeme vytvořit trojice, ve kterých je vždy jeden pár. To udělám tak, že na počátku mám výběr z $23$ párů a k němu vybírám jednoho zbývajícího člověka (z $2*23-2=44$ lidí) do trojice.

Druhá část. V těchto trojicích bude buď jeden nebo dva nebo tři muži. Spočítám každou z těchto variant zvlášť a sečtu jejich počty.

Třetí část. Nejprve vyberu jeden pár z $23$ možností a k němu vybírám $2$ zbývající osoby z $23*2-2=44$ osob. V nich je ovšem zahrnuto i $22$ párů, které musím odečíst.

Úloha 15

U chlapců je medián roven $2.5$, což znamená, že byl spočítán jako průměr z dvojky a trojky ${2+3}/2=2.5$. Z toho plyne, že polovina chlapců (tedy $7$) měla některé ze známek $1$, $2$, a druhá polovina některé ze známek $3$, $4$, $5$. V grafu vidíme, že jedničky a dvojky mělo celkem $10+8=18$ dětí a trojky, čtyřky a pětky mělo $12$ dětí. To znamená, že jedničky a dvojky mělo $18-7=11$ děvčat a trojky, čtyřky a pětky mělo $16-11=5$ děvčat.

Jelikož víme, že trojky nebo čtyřky nebo pětky získalo 5 děvčat, tak maximální počet trojek mezi děvčaty je právě těchto $5$. V tom případě by čtyřku ani pětku žádná z nich nedostala.

Úloha 16

Všechny grafy uvedených funkcí představují klasické "véčko" absolutní hodnoty posunuté v nějakém směru, případně obrácené v případě záporného násobku absolutní hodnoty. Převrácená véčka můžeme rovnou vyloučit, protože v kladném směru osy $x$ budou klesat. Růst má probíhat od hodnoty $x=1$, to splňuje pouze funkce označená jako C. Má vrchol v bodě $[1;-2]$ a je klesající v $(-∞;1⟩$ a rostoucí v $⟨1;∞)$.

Úloha 17

Určíme inverzní funkci $g^{-1}$ (zaměníme $x$ a $y$):

Obor hodnot $g^{-1}$ je totožný s definičním oborem $g$ tedy $(-∞;0⟩$. Definiční obor $g^{-1}$ je tudíž $⟨4;∞)$.

Úloha 18

Z rovnic kružnic určíme souřadnice jejich středů $S_k[-2;1]$ a $S_l[2;-1]$. Směrový vektor úsečky $S_kS_l$ je např. $(4;-2)$, což je zároveň normálový vektor osy souměrnosti. Jelikož spojnice středů kružnic prochází počátkem souřadnic $O[0;0]$, můžeme psát obecnou rovnici osy souměrnosti:

Úloha 19

Můžeme použít například kosínovou větu (jiná možnost by byla pomocí Pythagorovy věty). Neznámá délka $x$ strany v trojúhelníku leží naproti úhlu o velikosti $(180°-α)$ (protože úhlopříčka kosočtverce půlí úhel $α$ a součet úhlů v trojúhelníku je 180°). Užitím zmíněné kosínové věty spočteme $x$ a následně snadno obvod obrazce.

Úloha 20

Zavedeme označení $V_H$ objem hranolu, $V_J$ objem jehlanu, $a$ délka strany čtvercové podstavy jehlanu, $r$ poloměr podstavy kužele, $h$ výška jehlanu/kužele/hranolu. Máme určit podíl ${V_H}/{V_J}$. Nejprve určíme vztah mezi $a$ a $r$ a následně spočítáme hledaný poměr:

Úloha 21

Sečteme povrchy velké polokoule $S_1$, malé polokoule $S_2$, plochu řezu velké koule $S_3$ a odečteme plochu řezu malé koule $S_4$.

Úloha 22

V souladu se zadáním vyjádřím $a,b$ jako $a=2k$, $b=6l$ a $b=ma$. Ze zadání je též známa podmínka $m>1$.

A) Stačí najít jediný případ, kdy $a+b$ není dělitelné šesti. Například pro $a=2$, $b=6$ je $a+b=8$, což není dělitelné šesti.

B) Opět stačí najít jediný případ, kdy $a+b$ není dělitelné osmi. Například pro $a=2$, $b=12$ je $a+b=14$, což není dělitelné osmi.

C) $b-a=6l-2k=2(3l-k)$, což je dělitelné dvěma.

D) $a*b=12kl$, což je samozřejmě dělitelné číslem $12$.

E) $b/a=3l/k=m$, což nemusí být dělitelné třema, například pro $a=6$, $b=12$ je $b/a=2$.

Úloha 23

První část. Určíme souřadnice těžiště, které leží na úsečce $C_1C$ v $1/3$ vzdálenosti od $C_1$. Vezmeme tedy třetinu vektoru $C_1C$ a přičteme ho k bodu $C_1$:

Těžiště $T[-1;0]$ tedy leží na $x$-ové ose.

Druhá část. Spočteme souřadnice středu strany $BC$, využijeme k tomu spočítané souřadnice těžiště:

Tudíž střed strany $BC$ má souřadnice $[-1.5;-2.5]$.

Třetí část. Pomocí skalárního součinu zjistíme, jestli je cosinus úhlu $ACB$ ostrý či tupý (pokud bude cosinus úhlu větší než nula, je ostrý, pokud menší než nula, tak tupý, a pokud nulový, je pravý). Místo s bodem $B$ budeme počítat s již vypočtenými souřadnicemi bodu $A_1$:

Cosinus úhlu $ACB$ je menší než nula a tudíž je úhel $ACB$ větší než 90° neboli tupý.