MATEMATIKA ELEKTRONIKA POČÍTAČE HRY OSOBNÍ KONTAKT

ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTIÚLOHYPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA VŠMATURITNÍ ZKOUŠKAPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA SŠNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLADOUČOVÁNÍPřidat úlohu

Maturitní zkouška z matematiky - rozšiřující - rok 2023

5.8.2023

V tomto textu projdu maturitní zkoušku z matematiky z roku 2023 - jedná se o tzv. variantu Matematika rozšiřující, dříve Matematika+. Zadání/výsledky zde. Netuším, jak je to s autorskými právy. Proto zde zadání nebudu uvádět a pouze poskytnu webový odkaz na dané PDFko: zadání pro rok 2023 je zde.

Řešení úloh: U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10 U11 U12 U13 U14 U15 U16 U17 U18 U19 U20 U21 U22

Úloha 1

Výraz upravíme:

Úloha 2

Použijeme metodu nulových bodů $x_1=-9$, $x_2=9$. Zjistíme, že výraz je záporný pro $x∈(-9;9)$. Dle zadání má ovšem platit $x<0$ a tudíž hledanou množinou je interval $(-9;0)$.

Úloha 3

Rovnici řešíme metodou nulových bodů:

Sloučením dílčích řešení získáme $x∈(-∞;-10>$.

Úloha 4

Zvolil jsem trochu krkolomnější způsob řešení, protože si nepamatuju obecný tvar tečen k parabole. Z informací, které máme k dispozici zapíšeme rovnice paraboly a dvou přímek:

V uvedeném zápise je $k$ reálné kladné číslo (tečny vedou z bodu pod osou $x$, tudíž parabola musí být orientovaná "nahoru"). Dále $a, b, c, d$ jsou libovolná reálná čísla, tečny jsou dle zadání na sebe navzájem kolmé, tudíž jsou k sobě kolmé i normálové vektory přímek. Dosazením bodu, kterým tečny procházejí získáme:

Při výpočtu souřadnic průsečíku paraboly a tečen získáme dvě kvadratické rovnice se třemi neznámými:

Diskriminanty musejí být rovné nule:

Z obou rovnic vyjádříme $k$ a porovnáme:

Z této rovnosti vyplývá:

To znamená, že platí buď $a=b$ nebo $a=-b$. Obě varianty ovšem vedou ke stejným výsledkům, zvolíme tedy pro další výpočet třeba první z nich. Dostaneme $k=1/4{a^2}/{b^2}=1/4{a^2}/{a^2}=1/4$ a rovnice paraboly má tedy tvar $y=1/4x^2$.

Dosazením rovnosti $a=b$ do rovnic tečen a úpravou získáme finální tvar rovnic tečen k parabole:

Úloha 5

Budeme upravovat zadanou rovnici kružnice:

Ze středové rovnice kružnice, kterou jsme získali, vidíme, že střed leží v bodě $[1;-2]$ a poloměr kružnice je roven $√5$.

Úloha 6

Těleso vzniklé rotací trojúhelníku je tvořeno dvěma kužely se společnou podstavou o poloměru $8$ $cm$. Spočítáme výšky kuželů a pak již stačí dosadit do vzorců pro výpočet povrchu a objemu.

Úloha 7

Přímku $p$ zobrazíme ve středové souměrnosti se středem v bodě $S$, získáme tak přímku $q$, která je rovnoběžná s přímkou $p$ a zároveň na ní bude ležet vrchol $C$ hledaného trojúhelníku $ABC$.

Dále potřebujeme najít množinu bodů $M$, ze kterých bude úsečka $SU$ "vidět" pod úhlem $60°$. Vrchol $C$ se bude potom nacházet v průsečíku přímky $q$ a množiny $M$.

Vrchol $B$ bude ležet v průsečíku přímky $p$ a polopřímky $CS$.

Vrchol $A$ nakonec najdeme jako průsečík dvou kružnic o průměru $|BC|$ se středy v bodech $B$ a $C$.

Úloha 8

Zobrazme si názorně množinu všech možných výsledků hodů žetonem dle podmínek v zadání:

             / \
            1   0
           / \
          1   0
         / \
        1   0
       / \
      1   0
     / \
    1   0
   / \
  1   0
 / \
1   0

První část. Aby jednička padla během hry přesně třikrát, musí hra dojít k nule číslo čtyři - po čtvrtém hodu. Potřebujeme tedy, aby třikrát za sebou padla jednička a poté nula, která hru ukončí. Jelikož v každém jednotlivém hodu je pravděpodobnost, že padne jednička nebo nula stejná $50$ $%$, tak pravděpodobnost, že hra dopěje do požadovaného stavu je rovna:

Jinak řečeno $50$ $%$ z $(50$ $%$ z $(50$ $%$ z $50$ $%)) = 6.25$ $%$.

Druhá část. Zadání říká, že můžou nastat všechny výsledky až do nuly po pátém hodu. Sečteme tedy pravděpodobnosti všech možných výsledků:

Jsou to postupně pravděpodobnosti, že hra dospěje k první nule, druhé nule, třetí nule, čtrté nule a páté nule. Výsledek ještě můžeme zapsat jako zlomek, například: ${96.875}/{100}={96875}/{100000}={3875}/{4000}={155}/{160}={31}/{32}$.

Nebo $1/2 + {(1/2)}^2 + {(1/2)}^3 + {(1/2)}^4 + {(1/2)}^5 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/{16} +1/{32} = {16+8+4+2+1}/{32} = {31}/{32}$.

Třetí část. Aby bylo zadání splněno, musí padnout jednička v prvním hodu. Pravděpodobnost této události je $50$ $%$. Na dalších hodech už nezáleží, protože může nastat libovolný výsledek a zadání bude splněno.

Úloha 9

Částku ve fondu $B$ označme $x$, ve fondu $A$ potom bylo na začátku $x+x/3=4/3x$. Po jednom roce bylo ve fondu $A$:

V obou fondech dohromady po jednom roce:

Rozdíl činí ${791}/{300}x-{44}/{30}x={791-440}/{300}x={351}/{300}x={117}/{100}x$, což znamená že ve fondu $B$ se částka zhodnotila o $17$ $%$. Nyní částky ve fondech prohodíme a spočítáme celkový výnos:

Po záměně částek ve fondech by tedy byl celkový výnos $14$ $%$.

Úloha 10

U této úlohy si vystačíme s představou hodnot úhlů na jednotkové kružnici a jednoduchou úvahou. Za prvé, $π/5$ je rovno ${180°}/5=36°$. Za druhé, stejnou hodnotu jako $sin(-π/5)=sin(-36°)$ má na intervalu $<0;360>$ jednak $sin(180°+36°)=sin(216°)$ a pak $sin(360°-36°)=sin(324°)$. Vidíme, že $216°=6*36°$ a $324°=9*36°$. Ve $118$ ti násobcích $36°$ je obsaženo $118/10=11$ (plus zbytek $8$) plných úhlů a tedy $11*2=22$ požadovaných hodnot. Ve zbylém osminásobku $8*36°$ je obsažena pouze jedna hodnota. Hledaný celkový počet je tedy roven $22+1=23$.

Úloha 11

Jelikož si nepamatuju vhodnější vzorce, použiju trochu jiný postup, než měl asi zadavatel úlohy na mysli. Využijeme toho, že velikost vektorového součinu dvou vektorů je rovna dvojnásobku obsahu trojúhelníku, který je tvořen "koncovými body" vektorů.

Zavedeme si tedy dva vektory, jejichž třetí souřadnice bude nulová, spočítáme jejich vektorový součin a nakonec jeho velikost.

To je odpověď na druhou část úlohy. Řešení první části získáme prostým dosazením $c=8$ do vzorce: $S=1/2*|8-2|=6/2=3$.

Úloha 12

První část. Budeme upravovat výraz:

Druhá část.

Třetí část.

Úloha 13

První část. Určíme definiční obor funkce $D(f)=R\\\{-1\}$ a výraz upravíme:

Funkce je tedy rovna jedné v celém definičním oboru, což odpovídá grafu na třetím obrázku (C).

Druhá část. Opět určíme definiční obor, vezmeme v úvahu, že v děliteli nesmí být nula a pod druhou odmocninou záporné číslo. Získáme tak $D(f)=(-1;∞)$. Za těchto podmínek můžeme výraz upravit následovně:

Tomuto tvaru funkce odpovídá poslední obrázek (F).

Třetí část. Definiční obor této funkce je $D(f)=R\\\{-1\}$. Vzhledem k absolutní hodnotě v čitateli bude funkce nabývat hodnoty jedna v intervalu $(-1;∞)$ a mínus jedna v intervalu $(-∞;-1)$, tomu odpovídá graf na prvním obrázku (A).

Úloha 14

Jednotku úměrnosti označíme $k$, objem nádrže $V_T$. Potom dle značení v zadání bude:

Konstanta ${V_t/k}$ je kladné číslo, které označím $a$. Získaná funkce $y=f(x)=a*1/x$ je nepřímá úměrnost, které odpovídá graf na prvním obrázku.

Úloha 15

Zapíšeme, co je uvedeno v zadání a upravíme pomocí vzorce pro součet aritmetické posloupnosti:

Zodpovíme otázku:

Úloha 16

Spočítáme poměr dvou po sobě jdoucích členů řady:

Poměr je větší než jedna, tudíž tato řada nemá konečný součet.

Úloha 17

Stanovíme podmínky řešitelnosti nerovnice: $x≠0$, $x≠2$ a nerovnici upravíme:

Vidíme, že levá strana nerovnice bude větší nebo rovna nule, pouze pokud bude $x$ větší než nula (vyjma čísla dvě) neboli $x∈(0;2)∪(2;∞)$.

Úloha 18

Hmotnost velké housky označíme $M$, malé housky $m$, cenu velké housky $C$, maléhousky $c$, měrnou cenu velké housky $C_t=C/M$, malé housky $c_t=c/m$. Zadání uvádí následující vztahy:

Spočítáme odpověď na otázku:

Rozdíl je tedy $12.5$ $%$.

Úloha 19

Jelikož je čtyřúhelník $AB'XD$ souměrný podle osy $AX$, spočítáme jeho obsah jako dvojnásobek obsahu trojúhelníku $AXD$. Úhel $DAB'$ má velikost $90°-28°=62°$ a úhel $DAX$ má vzhledem k symetrii velikost ${62°}/2=31°$. Nyní už stačí jen spočítat délku úsečky $DX$ a následně dvojnásobek obsahu trojúhelníku $AXD$:

Úloha 20

Z obrázku v zadání je zjevné, že velikost úhlu $ADE$ je rovna $180°-120°=60°$. Dále, trojúhelníky $ADE$ a $ABC$ jsou si podobné, přičemž poměr délek jejich stran je roven ${|BC|}/{|DE|}=9/3=3$. Spočítáme délku $AD$:

Z bodu $E$ vedeme kolmici na stranu $AD$ a průsečík označíme třeba $X$. Spočítáme velikosti $XD$, $XE$ a následně hledanou hodnotu $|AE|$ pomocí Pythagorovy věty:

Úloha 21

Levý horní roh (čtvereček) každého z (pravoúhlých) čtyřúhelníků vyhovujích zadání leží v jednom z devíti čtverečků levé horní části čtvercové sítě. Máme tedy devět možností, kde čtyřúhelník "začne". Dále, k části čtyřúhelníku ve zmíněné levé horní části můžu přidat jeden až pět sloupců v horizontálním směru v pravé části sítě (celkem tedy pět možností) a jeden až pět řádků ve vertikálním směru ve spodní části sítě (celkem též pět možností). Dohromady tedy máme $9$ možných počátků krát $5$ možných rozšíření doprava krát $5$ možných rozšíření dolů. Výsledek tedy zní $9*5*5=9*25=225$ možných čtyřúhelníků.

Úloha 22

První část. Dosadíme do vzorce pro výpočet obsahu trojúhelníku a spočteme délku jeho strany:

Druhá část. Výšky a těžnice se v rovnostranném trojúhelníku protínají ve dvou třetinách délky těžnice od příslušného vrcholu trojúhelníku. Délku výšky/těžnice již známe z předchozího výpočtu $v={{√3}/2}a=3{√3}$. Výšku jehlanu spočteme pomocí Pythagorovy věty:

Třetí část. Dosadíme do vzorce: