MATEMATIKA ELEKTRONIKA POČÍTAČE HRY OSOBNÍ KONTAKT

ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTIÚLOHYPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA VŠMATURITNÍ ZKOUŠKAPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA SŠNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLADOUČOVÁNÍPřidat úlohu

Odvození vzorce pro obsah lichoběžníku

4.2.2020

Lichoběžník

Lichoběžník je čtyřúhelník, který má právě dvě protilehlé strany rovnoběžné (a různě dlouhé). Rovnoběžné strany se nazývají základny a různoběžné strany ramena lichoběžníku. Za speciální případy můžeme považovat jednak lichoběžník se stejně dlouhými rameny (rovnoramenný lichoběžník), a též lichoběžník, který má právě dva vnitřní úhly pravé (pravoúhlý lichoběžník).

Ve škole jsme se naučili, že obsah lichoběžníku se spočítá jako jedna polovina krát výška (vzdálenost základen) krát součet délek základen. Pokud označíme délky základen $a$, $c$, výšku $v$, pak vzorec pro obsah $S$ lichoběžníku vypadá takto:

Odvození vzorce

Obecný lichoběžník můžeme pomyslně rozdělit na obdélník a dva pravoúhlé trojúhelníky. V případě rovnoramenného lichoběžníku budou oba trojúhelníky shodné a v případě pravoúhlého lichoběžníku bude přítomen pouze jeden trojúhelník.

Zavedeme značení vrcholů lichoběžníku $ABCD$ ($|AB|=a$ a $|CD|=c$ jsou délky základen a platí $|CD|<|AB|$). Dále, patu výšky vedené z vrcholu $D$ označíme $O$ a patu výšky z vrcholu $C$ označíme $P$. Dle předchozího tedy máme obdélník $OPCD$ (s délkou stran $c$ a $|OD|=|PC|=v$) a dva pravoúhlé trojúhelníky $AOD$ a $PBC$. Obsah lichoběžníku bude roven součtu obsahu obdélníku a obou trojúhelníků.

Uvědomíme si, že posunutím obou trojúhelníků k sobě tak, že splynou jejich odvěsny $OD$ a $PC$, vznikne jeden obecný trojúhelník $EFG$ (vrchol $A$ jsem přeznačil na $E$, $B$ na $F$, a splynutí vrcholů $C$ a $D$ jsem označil $G$). Délka strany $EF$ trojúhelníku je $|EF|=(a-c)$ a výška je $v$. Součet obsahů trojúhelníků $AOD$ a $PBC$ se samozřejmě rovná obsahu trojúhelníku $EFG$. Nyní už můžeme spočítat obsah lichoběžníku: