Otočení v rovině

19.6.2018

V rovině máme daný bod X o souřadnicích [x;y], který se otočí okolo počátku soustavy souřadnic o úhel φ a splyne s bodem X' o souřadnicích [x';y']. Zajímá nás vztah mezi kartézskými souřadnicemi bodů X a X'. Za tím účelem použijeme určení polohy bodů pomocí polárních souřadnic.

Polární souřadnice

Bod v rovině má kartézské souřadnice [x;y], kde x je vzdálenost bodu od svislé osy a y je vzdálenost od horizontální osy. Polární souřadnice bodu jsou [r;φ], přičemž r je vzdálenost bodu od počátku souřadnic a φ představuje úhel, který svírá spojnice bodu s počátkem a horizontální osa (tzv. polární osa). Ještě je třeba stanovit kladný smysl polohového úhlu: pokud bychom otáčeli bod [1;0] okolo počátku souřadnic tak, že po otočení o úhel π/2 přejde do bodu [0;1], pak během tohoto otáčení jeho polohový úhel rostl (bod se pohyboval v kladném smyslu).

Z uvedeného je zřejmé, že mezi kartézskými a polárními souřadnicemi platí tyto vztahy:

$x=r*cos(φ)$

$y=r*sin(φ)$

Otočení bodu

Polohu obou bodů určíme v polárních souřadnicích X[r;α], X'[r';α']. Je zřejmé, že při otáčení okolo počátku souřadnic se nemění vzdálenost bodu od počátku a platí tedy:

$r'=r$

Dále je zřejmé, že úhel α bodu X se otočením změnil o φ a platí tedy:

$α'=α+φ$

přičemž φ bude kladné při otáčení v kladném smyslu a záporné v opačném.

Souřadnice bodu po otočení jsou:

$x'=r*cos(α+φ)$ (1)

$y'=r*sin(α+φ)$ (2)

Velikost polohového vektoru r vyjádříme pomocí x, y a α, připomeneme si vztah mezi x a y, a dále použijeme součtové vzorce pro goniometrické funkce:

$r=x/{cos(α)}=y/{sin(α)}$

${y/x}=tg(α)={{sin(α)}/{cos(α)}}$

${x/y}=cotg(α)={{cos(α)}/{sin(α)}}$

$cos(α+φ)=cos(α)cos(φ)-sin(α)sin(φ)$

$sin(α+φ)=sin(α)cos(φ)+cos(α)sin(φ)$

Dosadíme do (1) a upravujeme:

$x'={x/{cos(α)}}(cos(α)cos(φ)-sin(α)sin(φ))=x{{cos(α)}/{cos(α)}}cos(φ)-x{{sin(α)}/{cos(α)}}sin(φ)=$

$=x*cos(φ)-x*tg(α)*sin(φ)=x*cos(φ)-y*sin(φ)$

A podobně pro (2):

$y'={y/{sin(α)}}(sin(α)cos(φ)+cos(α)sin(φ))=x*sin(φ)+y*cos(φ)$

Získali jsme tedy vztahy:

$x'=x*cos(φ)-y*sin(φ)$ (3)

$y'=x*sin(φ)+y*cos(φ)$ (4)

Transformaci souřadnic při otočení o úhel φ je možné zapsat pomocí matice:

$(\table \x'; \y')=(\table \cos(φ), -\sin(φ); \sin(φ), \cos(φ))(\table \x; \y)$ (5)

Pokud bychom chtěli opačný vztah - tedy vyjádřit souřadnice bodu X pomocí souřadnic bodu X', pak máme několik možností. Buď ve vztazích (3) a (4) na levých stranách nahradíme x' za x a y' za y, a na pravých stranách φ za -φ, přičemž si připomeneme, že platí $cos(-φ)=cos(φ)$ a $sin(-φ)=-sin(φ)$. Anebo určíme inverzní matici k té ve vztahu (5):

${(\table \cos(φ), -\sin(φ); \sin(φ), \cos(φ))}^{-1}=(\table \cos(φ), \sin(φ); -\sin(φ), \cos(φ))$

A dostaneme:

$(\table \x; \y)=(\table \cos(φ), \sin(φ); -\sin(φ), \cos(φ))(\table \x'; \y')$

Neboli:

$x=x'*cos(φ)+y'*sin(φ)$

$y=y'*cos(φ)-x'*sin(φ)$