ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTIÚLOHYPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA VŠMATURITNÍ ZKOUŠKAPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA SŠNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLADOUČOVÁNÍPřidat úlohu
Řešené úlohy vzorového testu přijímacích zkoušek z matematiky na střední školy - rok 2019 první termín.
28.12.2019
Tato zadání jsou přístupná na oficiální stránce. Zadání je k dispozici ve formě PDF souboru - netuším ovšem, jak je to s autorskými právy. Proto zde zadání nebudu uvádět a pouze poskytnu webový odkaz na dané PDFko: test z prvního termínu v roce 2019 je zde.
Řešení úloh: U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10 U11 U12 U13 U14 U15 U16
Úloha 1
$$3/5*(2*15)=3*{2*15}/5=3*6=18$$
Úloha 2
První příklad. $11$ hodin mínus $9$ hodin jsou $2$ hodiny. $17$ minut mínus $45$ minut je $(-28)$ minut. $2$ hodiny plus $(-28)$ minut je $2*60-28=120-28=92$ minut.
Druhý příklad. Všechny jednotky převedeme na decimetry a spočítáme:
$$28*100-2300-(2300:100)=2800-2300-23=477$$
Úloha 3
První příklad.
$$11/4+3/4=14/4=7/2$$
Druhý příklad.
$${1-2/3}/{5/6}=6/5-4/5=2/5$$
Úloha 4
První příklad. Prosté roznásobení závorky $-6a^2+4a$.
Druhý příklad. Užití vzorce ${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$, a tedy $9x^2-24x+16$.
Třetí příklad.
$$6n-6+3n^2-3n+4n+2n=3n^2+9n-6$$
Úloha 5
První příklad.
$$0.8x=-2$$
$$x=-20/8=-5/2=-2.5$$
Druhý příklad. Rovnici vynásobíme dvanácti a upravujeme:
$$12-8y=3-6y+2y+6$$
$$4y=3$$
$$y=3/4$$
Úloha 6
Před Petrem stálo $1/8x$ chlapců a za Petrem stálo $1+5/6x$ chlapců. Zapíšeme rovnici a řešíme:
$$1/8x+1+1+5/6x=x$$
$$-1/8x-5/6x+x=2$$
$${-3-20+24}/24x=2$$
$$1/24x=2$$
$$x=48$$
První část. Před Petrem stálo $1/8*48=6$ chlapců.
Druhá část. Za Petrem stálo $1+5/6*48=41$ chlapců.
Třetí část. Chlapců bylo celkem $48$.
Úloha 7
První část. Celkový počet zubů, o kolik se každé z obou koleček otočí, se bude rovnat nejmenšímu společnému násobku počtu zubů obou koleček. Nejmenší společný násobek čísel $15$ a $24$ je číslo $3*5*8=120$. A tedy počet otáček menšího kolečka je roven $120:15=8$.
Druhá část. Pokud se černé kolečko otočí za $5$ sekund $3$ krát, pak se za $5$ minut ($=5*60=300$ sekund) otočí $3*300/5=180$ krát.
Třetí část. Bílé kolečko se otočí $2$ krát, to znamená, že se každé z obou koleček pootočí o $2*24=48$ zubů, což je zároveň nejmenší společný násobek počtu zubů obou koleček. Černé kolečko je menší, tudíž se musí otočit vícekrát než bílé. Nejmenší větší číslo než dvojka, kterým je $48$ dělitelné, je číslo $3$ a tedy černé kolečko má $48:3=16$ zubů.
Úloha 8
První část. Pokud označím $x$ polovinu vzdálenosti $|AB|$, pak je délka půlkružnice rovna $πx$ a hledaný poměr je roven ${πx}/{2x}=π/2≐3.14/2=1.57$.
Druhá část. V souladu s uvedeným označením je rozdíl roven $πx-2x=x(π-2)≐1*(3.14-2)=1.14$ km.
Úloha 9
Zabodnu kružítko do bodu $L$, vezmu vzdálenost $|KL|$ a udělám kružnici. Vyberu si polorovinu, ve které bude ležet trojúhelník (přímka procházející body $K$, $L$ dělí rovinu na 2 poloroviny). Pomocí úhloměru odměřím úhel $30°$ u vrcholu $K$ a narýsuju polopřímku. Tam, kde polopřímka protne kružnici, bude ležet vrchol $M$ trojúhelníku.
Pokud bychom nechtěli nebo nemohli použít úhloměr, tak úhel $30°$ zkonstruujeme pomocí kružítka. Sestrojíme rovnostranný trojúhelník, například $KLO$. Všechny úhly v tomto trojúhelníku jsou rovny $60°$ a tedy úhel u vrcholu $K$ rozpůlíme (sestrojíme osu úhlu $KLO$).
Úloha 10
Sestrojím kružnici $k$ se středem ve středu úsečky $BD$ a poloměrem rovným polovině $|BD|$. V průsečíku, pokud existuje, (Thaletovy) kružnice $k$ a přímky $c$ leží vrchol(y) $C$ obdélníku. Vrchol(y) $A$ sestrojím třeba pomocí kružítka. Vezmu vzdálenost $|CD|$ a narýsuju kružnici se středem ve vrcholu $B$, stejně tak kružnici se středem v $D$ s poloměrem rovným $|BC|$. V průsečíku kružnic leží vrchol $A$.
Úloha 11
První část. Poměr počtu dívek ku chlapcům je dle zadání roven $1/3$.
Druhá část. Počet dívek v 9.A je $24*1/4=6$ a počet chlapců $24*3/4=18$. Počet žáků v 9.B je $24*4/3=32$. Počet dívek v 9.B je roven $32*3/8=12$ a počet chlapců $32*5/8=20$. Počet dívek v obou třídách je tedy roven $6+12=18$, což je počet chlapců v 9.A.
Třetí část. Rozdíl počtu chlapců a dívek v 9.B je roven $20-12=8$.
Úloha 12
V kosodélníku jsou protilehlé úhly shodné. Pro úhly v zobrazeném kosodélníku v zadání platí:
$$α+24°=180°-68°$$
$$α=180°-68°-24°=88°$$
Úloha 13
Obsah šedé části $S_S$ spočítáme jako rozdíl obsahu čtverce $S_C$ a obsahu obou trojúhelníků, které dohromady tvoří obdélník, $S_O$.
$$S_C=17*17$$
$$S_O=15*√{17*17-15*15}$$
$$S_S=S_C-S_O={17}^2-15*√{{17}^2-{15}^2}=289-15*√{289-225}=$$
$$=289-15*√{64}=289-15*8=289-120=169$$
Úloha 14
Plocha krychle je rovna $6*(3*2)*(3*2)=6*6*6=36*6=216$ ${cm}^2$. Obsah jednoho čtverečku je roven $2*2=4$ ${cm}^2$. Od plochy krychle odečteme plochu vzniklých "děr" $4+2*4=12$ ${cm}^2$ a dále přičteme dodatečné plošky $5*4+4*4=36$ ${cm}^2$. Výsledný povrch tedy je $216-12+36=240$ ${cm}^2$.
Úloha 15
První část.
$$0.75x=1800$$
$$x={180000}/{75}={7200}/3=2400$$
Druhá část.
$$1.2x=2700$$
$$x={27000}/{12}=2250$$
Třetí část.
$$0.4*(900:0.6)+900=0.6x$$
$$900*2/3+900=0.6x$$
$$1500=0.6x$$
$$x=2500$$
Úloha 16
První část. Pokud je na prostředním políčku $9$ žetonů, pak je to čtvercová deska o rozměru $(9-1)*2+1=17$ políček.
Druhá část. Dva žetony budou ležet na $(9-2)*2+(9-4)*2=14+10=24$ políčkách.
Třetí část. Následující čtvercová deska má vždy počet žetonů větší o hodnotu, která se skládá ze dvou částí. Jednak je to počet žetonů, který je roven počtu políček menší desky (větší deska obsahuje menší desku, přičemž se hodnota na každém políčku zvětší o jedničku). A jednak je to krajní obvod velké desky, kdy na každém políčku je jeden žeton.
Pokud rozměr menší desky označím $n$, pak větší deska o rozměru $n+2$ má o $n*n+(n+2)*2+n*2=n^2+4n+4$ políček více.
V tomto konkrétním případě je $n=9$, rozdíl je tedy roven $9*9+4*9+4=81+36+4=121$.