Řešené úlohy vzorového testu přijímacích zkoušek z matematiky na střední školy - rok 2019 druhý termín.

7.12.2019

Tato zadání jsou přístupná na oficiální stránce. Zadání je k dispozici ve formě PDF souboru - netuším ovšem, jak je to s autorskými právy. Proto zde zadání nebudu uvádět a pouze poskytnu webový odkaz na dané PDFko: test z druhého termínu v roce 2019 je zde.

Řešení úloh: U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10 U11 U12 U13 U14 U15 U16

Úloha 1

Spočítáme $500$ $kg$ děleno $20$ $tun$ krát $100$, a tedy: $100{500}/{20000}%=5/2%=2.5%$.

Úloha 2

První příklad. Počítáme $√{100*0.0025}=√{0.25}=0.5$.

Druhý příklad. Počítáme $25-0.2=24.8$.

Úloha 3

První příklad. Upravujeme ${2/3}/{-36}=-{2}/{3*36}=-1/54$.

Druhý příklad. Upravujeme $8-6+{-15+4}/6=2-11/6=1/6$.

Úloha 4

První příklad. Prosté užití vzorce ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$.

Druhý příklad. Roznásobení závorek a sečtení příslušných členů $6e-3ef-2ef+6f^2=6e-5ef+6f^2$.

Třetí příklad. Opět užití vzorce ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$ a též $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. A tedy $1+6n+9n^2+1-9n^2-2=6n$.

Úloha 5

První příklad. Upravujeme rovnici $6-3/2x+x=7-1/2x$ a získáme $1=0x$. Tuto podmínku nesplňuje žádné reálné číslo a rovnice tedy nemá řešení.

Druhý příklad. Upravujeme rovnici $5/6y-2/3y-1/2y=5/3-5/4$, dále $-2/6y=5/12$ a získáme $y=-5/4$.

Úloha 6

První část. Za bagr se zaplatila fixní část $1500$ Kč plus počet odpracováných hodin bagru krát cena za hodinu $600$ Kč, a tedy cena dělá $1500+10*600=7500$ Kč.

Třetí část. Jestliže bagr za $5$ hodin udělá tolik, co $5$ dělníků za $8$ hodin, pak bagr za $1$ hodinu udělá tolik, co $1$ dělník za $8$ hodin (oba údaje jsme vydělili pěti). A z toho zase plyne, že $4$ dělníci to samé udělají za $2$ hodiny (počet dělníků se $4$ krát zvětšil a potřebný čas $4$ krát zkrátil). Připomeňme si, že je to práce, kterou bagr vykoná za jednu hodinu. On ale pracoval $10$ hodin a tedy $4$ dělníci tuto práci budou vykonávat $10$ krát déle, což je $20$ hodin.

Druhá část. Každý dělník dostal za každou odpracovanou hodinu $150$ Kč, dělnící byli $4$ a tedy cena $4*20*150=12000$ Kč.

Úloha 7

První část. Povrch tří trojúhelníkových desek $3*(1/2*5*12)$ ${dm}^2 =90$ ${dm}^2$.

Druhá část. Délka strany $a$ čtvercové desky je přeponou pravoúhlého trojúhelníku a tedy dle Pythagorovy věty $a^2=5^2+12^2=169$ ${dm}^2$, což je zároveň povrch desky.

Úloha 8

Délku strany čtverce označím $a$, pak se obvod obdélníku vyjádří jako $42=2(a/5+a/2)$. Z toho určím, že $a=30$ cm. Obdélník má potom délky stran $30/5=6$ cm a $30/2=15$ cm a tedy poměr délek jeho stran $6/15=2/5$ nebo opačně $5/2$.

Úloha 9

Jelikož se jedná o rovnoramenný trojúhelník se základnou $AB$, tak vrchol $C$ musí ležet na ose strany $AB$. Tudíž vrchol $C$ je průsečíkem přímky $p$ a osy strany $AB$.

Úloha 10

Vrchol $D$ bude ležet na kolmici k přímce $p$ procházející bodem $A$. Vrchol $C$ bude ležet na polopřímce vycházející z bodu $A$ skloněné k přímce $p$ pod úhlem $45$ °. Z toho vycházejí tři možné způsoby konstrukce čtverce $ABCD$, kdy na kružnici $k$ bude ležet (kromě vrcholu $A$) vždy právě jeden ze zbývajících vrcholů.

Úloha 11

Spočítáme chybějící údaje v tabulce z poskytnutých informací. V lednu měli všichni stejný počet, tudíž pokud je součet za leden roven $36$, pak se počet hovorů u každého rovná $36:3=12$. Aleš měl v březnu o $1/3$ méně hovorů než v únoru, tedy březnová hodnota $12$ představuje $2/3$ únorové a tudíž v únoru měl $12{3/2}=18$ hovorů. Běla měla v březnu o $1/2$ více hovorů než v únoru a tudíž v březnu měla $12{3/2}=18$ hovorů. Cyril má průměr $9$ a za leden $12$ hovorů a za únor $9$, neboli platí $9={12+9+x}/3$, kde $x$ je počet za březen. Dopočítáme, že $x=3*9-12-9=6$ hovorů.

Z toho plynou odpovědi na otázky. V prvním čtvrtletí měl Aleš průměr ${12+18+12}/3=4+6+4=14$ hovorů, což samozřejmě není méně než $14$. Běla měla za první čtvrtletí celkem $12+12+18=42$ hovorů. V březnu měl Cyril $6$ hovorů a Běla $18$, tudíž cyril měl $18:6=3$ krát méně.

Úloha 12

Trojúhelník je rozdělený na tři menší, levý, střední a pravý. Spočítáme velikost úhlu v prostředním trojúhelníku, označím ho třeba $x$ a platí pro něho, že $x+116°=180°$ a tedy $x=64°$. Z toho plyne, že velikost $φ=90°-64°=26°$, protože prostřední trojúhelník je pravoúhlý. V celém trojúhelníku platí $α+β+3φ=180°$, neboli po úpravě $α+β=180°-3*26°=102°$.

Úloha 13

Objem každého z těles je roven jedné čtvrtině objemu celého válce neboli $V={1/4}π25h$, kde $h$ je výška válce, tu sice neznáme, ale pomocí dodatečné informace spočteme. Pro obsah bílých ploch na jednom kusu platí $80=2*5*h$, neboli $h=8$ cm. Dosadíme do výrazu pro objem a dostaneme $V={1/4}π25*8=50π$ ${cm}^3$, což se po zaokrouhlení na jednotky rovná $157$ ${cm}^3$.

Úloha 14

Počty hrnků Kryštofa, Lenky a Marka po řadě označíme $k$, $l$ a $m$. Pak dle zadání platí $k=3m$, $l=1/2k$ a $k=2+l+m$. Z těchto rovnic vyjádříme $k$ a $l$ pomocí $m$ a dosadíme do jedné z rovnic, přičemž získáme třeba tento výraz $3m=2+3/2m+m$, po úpravě $3m=2+5/2m=2+2.5m$.

Úloha 15

První příklad. Pokud cenu před slevou označím $x$, pak zadání zapíšu rovnicí $400=0.8x$ a tak $x=500$ Kč.

Druhý příklad. Původní cenu svetru označím $x$, pak po zdražení měl cenu $1.25x$ a po zlevnění platilo, že $600=0.8*1.25x$ (konečná cena $600$ Kč se získá tak, že k původní hodnotě $x$ přidáme $25$ % a potom z této hodnoty spočítáme $80$ %). Řešíme rovnici $600=0.8*(1+0.25)x=(0.8 + 0.2)x=x$ a tedy původní cena byla $x=600$ Kč.

Úloha 16

Projdeme si, co se stane při každém lichém, sudém a každém čtvrtém pípnutí. Při každém lichém přibudou dvě svislé čárky ||. Při každém sudém přibudou dvě vodorovné čárky --. Při každém čtvrtém jedna svislá čárka zmizí, přibyde jedna vodorovná čárka a jeden křížek (plus).

První část. Máme dané číslo $10$, přičemž je $5$ menších lichých čísel, tudíž přibylo celkem $5*2=10$ svislých čárek. Čísla dělitelná $4$ jsou $2$, to znamená, že zmizely $2*1=2$ svislé čárky, přibyly $2$ vodorovné čárky a $2$ křížky. Ze všech sudých čísel menších než $10$ jich zbývají $3$ a tedy přibylo $3*2=6$ vodorovných čárek. Sečteme všechny přírůstky a úbytky vodorovných čárek: $2+6=8$.

Druhá část. Máme dané číslo $60$, přičemž je $30$ menších lichých čísel, tudíž přibylo celkem $30*2=60$ svislých čárek. Čísel dělitelných $4$ je $15$, to znamená, že zmizelo $15*1=15$ svislých čárek, přibylo $15$ vodorovných čárek a $15$ křížků. Ze všech sudých čísel menších než $60$ jich zbývá $15$ a tedy přibylo $15*2=30$ vodorovných čárek. Sečteme všechny přírůstky a úbytky: $60-15+15+15+30=105$.

Třetí část. Křížek se objeví, pokud je pořadové číslo pípnutí dělitelné $4$. Tudíž, pokud se právě objevil $7.$ křížek, tak nastalo pípnutí číslo $7*4=28$. Takže máme číslo $28$, přičemž je $14$ menších lichých čísel, tudíž přibylo celkem $14*2=28$ svislých čárek. Čísel dělitelných $4$ je $7$, to znamená, že zmizelo $7*1=7$ svislých čárky, přibylo $7$ vodorovných čárek a $7$ křížků. Ze všech sudých čísel menších než $28$ jich zbývá $7$ a tedy přibylo $7*2=14$ vodorovných čárek. Sečteme všechny přírůstky a úbytky svislých čárek: $28-7=21$.