ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTIÚLOHYPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA VŠMATURITNÍ ZKOUŠKAPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA SŠNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLADOUČOVÁNÍPřidat úlohu
Řešené úlohy testu přijímacích zkoušek z matematiky na střední školy - rok 2023 první termín.
27.12.2023
Tato zadání jsou přístupná na oficiální stránce. Zadání je k dispozici ve formě PDF souboru - netuším ovšem, jak je to s autorskými právy. Proto zde zadání nebudu uvádět a pouze poskytnu webový odkaz na dané PDFko: test z prvního termínu v roce 2019 je zde.
Řešení úloh: U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10 U11 U12 U13 U14 U15 U16
Úloha 1
Pokud $x$ označíme zbývající část filmu, ze zadání získáme jednoduchou rovnici:
$$60=2x+x$$
$$x=20$$
Do konce filmu tedy zbývá 20 minut.
Úloha 2
První část. Plný sud má objem $60*3/2=90$ $l$, objem konvičky je potom $90:15:5=6:5=1.2$ $l$.
Druhá část. $8$ ${dm}^3=8000$ ${cm}^3$. Spočítáme $200*8000=1600000$.
Úloha 3
První část.
$$8/9-1/9=4/9$$
Druhá část.
$$2*{-1/7}=-2/7$$
Třetí část.
$${3/5}/{{9/10}*{56/30}}=3/5*10/9*15/28=5/14$$
Úloha 4
První část. Prosté roznásobení závorky a úprava $2x^2-2x+x=2x^2-x=x(2x-1)$.
Druhá část. Užití vzorce ${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$, a tedy $4/9a^2-4a+9$.
Třetí část.
$$6n-3n^2+6n^2+14n-2n^2+7-n=n^2+19n+7$$
Úloha 5
První část.
$$x+4x+10=5x+15$$
$$0x=5$$
Rovnice nemá řešení.
Druhá část.
$$y+10+6y=15-25+5y$$
$$2y=-20$$
$$y=-10$$
Úloha 6
První část. $S_{ABD}=1/2*d*v_b=1/2*6*8=24$ ${cm}^2$.
Druhá část. $S_{ABCD}=S_{ABD}+1/2*8*10=24+40=64$ ${cm}^2$.
Úloha 7
První část. Ze zadání a grafu je vidět, že jednotka na svislé ose má hodnotu $3$ (rozdíl mezi počtem žáků v šachovém a hudebním kroužku je šest, což zároveň činí dva dílky na svislé ose a tedy $6/2=3$). To znamená, že hledaný procentuální rozdíl činí $3/{4*3}=1/4=25$ $%$.
Druhá část. Sedm dílků krát tři žáci na dílek činí $7*3=21$ žáků.
Třetí část. Vímě, že pro všechny žáky platí ${15+12+9}/{12+21+x}=2/3$, kde $x$ značí počet žáků 9. třídy v robotickém kroužku. Spočteme $x$:
$$36/{x+33}=2/3$$
$$108=2x+66$$
$$x=21$$
Nyní už snadno spočteme poměr $9/21=3/7$.
Úloha 8
První část. Kratší strana je o $25$ $%=25/100=1/4$ kratší než délka strany čtverce $a$, má tedy délku $a-1/4a=3/4a$.
Druhá část. Ze zadání máme následující vztah (rovnost obvodů), ze kterého spočítáme délku strany čtverce $a$:
$$4a=2(a+10+3/4a)$$
$$8a=4a+40+3a$$
$$a=40$$
Třetí část. Rozdíl obsahů činí $40*40-(40+10)(40*3/4)=40*40-50*30=1600-1500=100$ $m^2$.
Úloha 9
Úhlopříčky jsou v obdélníku stejně dlouhé a navzájem se půlí. Tudíž v zadané úloze sestrojíme $S$ střed úhlopříčky $AC$ a na přímku $MS$ naneseme zbývající dva vrcholy obdélníku $B$ a $D$ (platí $|AS|=|BS|=|DS|$).
Úloha 10
Sestrojíme přímku $AP$ a najdeme její průsečíky $B_1$ a $B_2$ s kružnicí $k$. Jelikož úsečka $AB$ je základnou rovnoramenného trojúhelníku $ABC$, vrcholy $C$ ($C_1$,$C_2$, ....) trojúhelníku budou ležet v průsečíku kružnice $k$ a osy úsečky $AB$.
Úloha 11
Měřítko mapy je ${3.5cm}/{700m}=0.035/700=35/700000=1/20000$.
První část. $49$ $mm$ na mapě činí $49*20000$ $mm=980000$ $mm=0.98$ $km$.
Druhá část. ${6-2}/20000$ $km=1/5000$ $km=100000/5000$ $cm=20$ $cm$.
Třetí část. Měřítko už máme spočítané $1:20000$.
Úloha 12
Opakovaně použijeme Pythagorovu větu:
$${17}^2-{15}^2={|BC|}^2$$
$$|BC|=√{289-225}=8$$
$${8}^2+{6}^2={|FC|}^2$$
$$|FC|=√{64+36}=10$$
Délka čáry tedy je $2*17+2*10=34+20=54$ $m$.
Úloha 13
Spočítáme povrch válce $P=2*100π+3*100π=500π=1570.7963.....$ ${cm}^2$ (po zaokrouhlení na desítky $1570$).
Úloha 14
Využijeme toho, že součet vnitřích úhlů v trojúhelníku je $180°$: $10α=180$ a tedy $α=18°$. Nakonec $180-β=4α=72$, z čehož plyne $β=180-72=108°$.
Úloha 15
První část. V roce 2022 bylo vyrobeno $250*6/5*6/5=360$ výrobků.
Druhá část. Jana ujela $400*4/5=320$ $km$.
Třetí část. Označíme $p$ počet zaměstnanců na začátku. Platí $42=1/4(3/5p)$ a tedy $p=42*20/3=280$.
Úloha 16
První část. Pátý obrazec obsahuje $3^{5-1}=3^4=81$ bílých trojúhelníků (n-tý obrazec obsahuje $3^{n-1}$ bílých trojúhelníků).
Druhá část. Sedmý obrazec obsahuje $121+3^{6-1}=121+3^5=121+243=364$ šedých trojůhelníků (n-tý obrazec obsahuje počet šedých trojúhelníků rovný součtu počtů bílých a šedých trojúhelníků v (n-1)-tém obrazci).
Třetí část. "Poslední" obrazec obsahuje $6561*3=19683$ bílých trojúhelníků (počet bílých trojúhelníků v n-tém obrazci je roven trojnásobku rozdílu počtů šedých trojúhelníků n-tého a (n-1)-tého obrazce).