Test přijímací zkoušky z matematiky na osmiletá gymnázia - rok 2022

15.10.2022

V tomto textu projdu test druhéhého náhradního termínu přijímacích zkoušek z matematiky na osmiletá gymnázia.

Tato zadání jsou přístupná na oficiální stránce. Zadání je k dispozici ve formě PDF souboru - netuším ovšem, jak je to s autorskými právy. Proto zde zadání nebudu uvádět a pouze poskytnu webový odkaz na dané PDFko: test je zde.

Řešení úloh: U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10 U11 U12 U13 U14

Úloha 1

První příklad. Spočítáme hodnotu výrazu na pravé straně rovnosti, což je $18+36:3=18+12=30$. Rovnost teď říká, že od čísla $96$ máme odečíst takové číslo, abychom dostali výsledek $30$. Tímto neznámým číslem zjevně je $96-30=66$. Nyní již stačí toto číslo vydělit třemi : $66:3=22$.

Druhý příklad. Všimneme si, že na obou stranách rovnosti se nějaký výraz násobí číslem $2$. To znamená, že tyto výrazy samotné si musejí být rovny. Spočteme první výraz v závorce na levé straně $96:3=32$. Řešíme nyní otázku, jaké číslo musíme odečíst od čísla $32$, abychom dostali číslo $18$. Tímto číslem zjevně je $32-18=14$.

Úloha 2

První příklad. Máme spočítat časový interval mezi $18:17$ a $9:48$ následujícího dne. Do půlnoci zbývá $24:00-18:17=5:43$, tento časový úsek přičteme ke koncovému času $5:43+9:48=14:91$. Devadesát jedna minut samozřejmě zapíšeme jako jednu hodinu a třicet jedna minut ($0:91=1:31$) a tím pádem $14:91=15:31$.

Druhý příklad. Budeme převádět rovnou na metry:

$$({1/20} * 1000 + 34000 * 0.01) m = (50 + 340) m = 390 m$$.

Úloha 3

První část. Obvod obdélníku je tvořený dvěma delšími stranami neznámé délky a dvěma stranami délky $5$ cm. Pokud se pozorně podíváme na obrázek, uvidíme, že obvod celého obrazce můžeme zapsat jako součet obvodů dvou obdélníků plus vhodný počet stran délky $5$ cm. Tento počet jsou dva. Máme tedy: $54=2*5+2*o$, neboli $54=10+2*o$, tedy pokud vezmu dva obvody obdélníku, přičtu k nim číslo $10$, dostanu číslo $54$. To znamená, že dva obvody jsou rovny $54-10=44$ cm a tedy obvod jednoho obdélníku je $44:2=22$ cm.

Druhá část. Spočítáme počet malých čtverečků, těch je $13$, dále spočítáme čtverce tvořené čtyřmi čtverečky, kterých je celkem $5$ a nakonce počet čtverců tvořených devíti čtverečky, takový je ovšem jen jeden. Větší čtverec už v obrázku nenajdeme (tvořený šestnácti a více čtverečky). Sečteme čtverce $13+5+1=19$.

Úloha 4

Číslo $43$ máme zapsat jako součet dvou čísel, z nichž jedno je dělitelné třemi a druhé čtyřmi. Jsou to součty $3+40=1*3+10*4$, $15+28=5*3+7*4$, $27+16=9*3+4*4$ a $39+4=13*3+1*4$.

První část. Pokud má být součet "koleček" co nejmenší, potřebujeme ve zmíněném součtu co nejvíce čtyřek a co nejméně trojek. Tomu vyhovuje součet $3+40$, kde je jediná trojka a deset čtyřek. Součet násobitelů tak je $1+10=11$.

Druhá část. Zde naopak, pokud má být součet "koleček" co největší, tak potřebujeme co nejvíce trojek a co nejméně čtyřek. Takový je součet $39+4$, kde je třináct trojek a jediná čtyřka. Součet násobitelů je tak $13+1=14$.

Úloha 5

První část. Počet schodů vedoucích nahoru, t.j. $120$, je polohou prvního odpočívadla dělen poměrem $1:3$. To znamená, že z nádvoří tam vede $1*120/4=30$ schodů.

Druhá část. Zde je stejným poměrem dělen počet nižších schodů, tedy $3*180/4=135$.

Třetí část. V tomto úseku vede nahoru, jak je uvedeno v zadání, $96$ schodů. Přepočítáme tento počet pomocí poměru mezi celkovým počtem schodů nahoru a dolů, $96*180/120=96*3/2=48*3=144$.

Úloha 6

První část. Jedna plná paleta s deseti dlaždicemi váží $340:2=170$ kg. Jedna paleta se čtyřmi dlaždicemi váží $80$ kg. To znamená, že rozdíl šesti dlaždic ($10-4=6$) odpovídá hmotnostnímu rozdílu $170-80=90$ kg. Z toho plyne, že jedna dlaždice váží $90:6=15$ kg.

Druhá část. Od $80$ kg odečteme hmotnost čtyř dlaždic, tedy $80-4*15=80-60=20$ kg.

Úloha 7

První část. Do kružítka vezmeme dvakrát větší vzdálenost $|AM|$, kružítko zabodneme do bodu $M$, přičemž oblouk kružnice vytne na přímce $a$ dva body. Označíme je $A_1$ a $A_2$. Těmito body vedeme rovnoběžky s přímkou $b$. Bodem $C$ vedeme kolmici na přímku $b$. Kde se tato kolmice a rovnoběžky protnou, budou ležet vrcholy obdélníků $D_1$ a $D_2$. Do kružítka vezmeme vzdálenost $|CD_1|$, resp. $|CD_2|$, uděláme oblouk se středem v bodě $A_1$, resp. $A_2$ a tam, kde oblouky protnou přímku $b$ budou ležet zbývající vrcholy obdélníků $B_1$, resp. $B_2$.

Druhá část. Kružítkem uděláme oblouk se středem v bodě $F$ o poloměru $5$ cm. Kde oblouk protne přímku $g$, tam se bude nacházet vrchol $G$. Nyní uděláme oblouk se středem v bodě $G$ opět o poloměru $5$ cm. Kde oblouk protne přímku $h$, tam leží vrchol $H$ trojúhelníku.

Úloha 8

První část. Šedivé pole třetí zleva čtvrté shora posuneme o tři pozice doprava. Vzniklý útvar má dvě osy symetrie, horizontální a svislou.

Druhá část. Šedivé pole čtvrté zleva třetí shora posuneme o dvě pozice nahoru. Vzniklý útvar má čtyři osy symetrie, horizontální, svislou a dvě úhlopříčné.

Třetí část. Šedivé pole páté zleva páté shora posuneme o jedno pole doprava a o jedno pole dolu. Vzniklý útvar má dvě úhlopříčné osy symetrie.

Úloha 9

Od celkového počtu krabiček odečteme plné sloupečky černých čajů $140-10*4=100$. Tím nám zbylo sto krabiček, které jsou rozděleny v poměru $1:3$ černých ku ovocným čajům. To znamená, že ovocných čajů je $3*100/4=75$ krabiček.

Úloha 10

Podle grafu má Tomáš čtyři jednotky kartiček, tím pádem má Standa dvě jednotky (o polovinu méně). A dohromady mají $24$ kartiček. Z toho plyne, že jedna jednotka v grafu má hodnotu $24:(4+2)=4$ kartičky. Radek má $4*5=20$ kartiček a Petr $20+5=25$. Odpověď na otázku tedy je $25-8=17$ kartiček.

Úloha 11

Pohled shora odpovídá volbám B a E. Pohled zepředu umožňuje už pouze volbu B.

Úloha 12

Při pohledu zezadu nemůže být vidět svisle postavený hranol, protože je zezadu krytý kostkami. To vylučuje možnosti B a C. Správná volba je A, protože na zakrytí ležícího kvádru vzadu není dost kostek.

Úloha 13

První část. Poměr počtu chlapců ku dívkám je $2:1$, tudíž chlapců je $2*24/3=16$.

Druhá část. Když chyběli tři chlapci a dvě dívky, tak ve třídě zůstalo $25-(3+2)=20$ dětí. Chlapců je nyní o čtyři více, tak je odečteme a zbytek vydělíme dvěma $(20-4):2=8$. To je počet zbylých dívek a zbylých chlapců je tedy $8+4=12$. Přičteme tři absentéry a máme $12+3=15$ chlapců ve třídě.

Třetí část. Poměr počtu chlapců ku počtu dívek je $4:5$, zároveň je dívek o $3$ více než chlapců. To znamená, že ta pětina rozdílu jsou právě ty tři dívky. Z toho plyne, že dívek je $3*5=15$ a chlapců $4*3=12$.

Úloha 14

První část. Dvanáctka se nejprve objeví ve třetím sloupečku v $(12-2)+1=11$té řadě na $11*3=33$tím místě.

Druhá část. Stodvacetpět čísel přestavuje $41$ řad plus dvě místa ($125:3=41$ zbytek $2$). V každém řádku je vždy jedno liché číslo, dvě lichá čísla, jedno, dvě, .... Na každé dvě řady za sebou tak vždy vyjdou $1+2=3$ lichá čísla. Máme tedy $20*3+1+1=62$ lichých čísel.

Třetí část. Stopadesátdvě čísla znamenají $50$ řádků plus dvě místa ($152:3=50$ zbytek $2$), tedy prostřední sloupeček, kde čísla začínají od jedničky. Na stopadesátémdruhém místě tedy je číslo $50+1=51$.