Vzorový test přijímací zkoušky z matematiky na osmiletá gymnázia - rok 2019

11.2.2019

V tomto textu projdu vzorový test přijímacích zkoušek z matematiky na osmiletá gymnázia.

Tato zadání jsou přístupná na oficiální stránce. Zadání je k dispozici ve formě PDF souboru - netuším ovšem, jak je to s autorskými právy. Proto zde zadání nebudu uvádět a pouze poskytnu webový odkaz na dané PDFko: vzorový test je zde.

Řešení úloh: U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10 U11 U12 U13 U14

Úloha 1

První příklad. Výraz obsahuje operace dělení a odčítání. Víme, že dělení má přednost před odčítáním. Všimneme si, že v čitateli posledního zlomku (podílu) je nula, a tedy celý podíl je rovne nule a nemusíme se zabývat ani závorkou $(125-25)$ . Spočítáme tedy $1000/40=25$ a následně $5000-25=4795$ .

Druhý příklad. Opět je zde dělení a odčítání. Nejprve spočítáme výraz v závorce $(3002-797)=2205$ a následně dělíme devíti $2205/9=245$ .

Úloha 2

První příklad. Máme od $300$ milimetrů odečíst $5$ centimetrů a výsledek uvést v centimetrech. Převedeme si tedy milimetry na centimetry: $300$ $mm=30$ $c m$ a odečteme $30$ $cm-5$ $cm=25$ $c m$ . Tuto hodnotu máme vynásobit dvaceti $25*20$ $cm=500$ $c m$ a výsledek uvést v metrech $500$ $cm=5 m$ .

Druhý příklad. Budeme postupovat od konce. Čtyři hodiny máme vydělit třiceti a výsledek uvést v minutách. Převedeme si hodiny na minuty $4$ $h=240$ $m$ a vydělíme $240$ $m:30=8$ $m$ . Dále od této hodnoty máme odečíst $300$ sekund a výsledek uvést v minutách. Převedeme sekundy na minuty $300$ $s=5$ $m$ a odečteme $8$ $m-5$ $m=3$ $m$ .

Úloha 3

První část. Pokud od čísla $63$ odečtu takové jednociferné číslo, že výsledkem je číslo menší než $60$ , pak je zřejmé, že odečítané číslo musí být větší než tři. Zkouším tedy postupně čísla od $4$ do $9$ : $63-4=59$ vyhovuje, $63-5=58$ nevyhovuje, protože se opakuje číslice $5$ , $63-6=57$ nevyhovuje, protože se opakuje číslice $6$ , $63-7=56$ nevyhovuje, protože se opakuje $6$ , $63-8=55$ nevyhovuje, protože se opakuje $5$ , $63-9=54$ vyhovuje.

Druhá část. Jestliže má být výsledkem dělení $7$ dvojciferné číslo, pak první číslo musí mít na první pozici buď $8$ nebo $9$ ( $7$ tam být nemůže, protože by se vyskytla už podruhé). Zjistíme, že $80$ nevyhovuje, protože $80:7=11+3/7$ - máme dvě jedničky, což odporuje zadání. Zkusíme tedy $90:7=12+6/7$ , což vyhovuje a je řešením této části.

Třetí část. První číslicí ve výsledném čtyřciferném čísle bude $1$ , protože součet $849+3XX$ bude mít vždy ve výsledku tvar $1XXX$ nezávisle na tom, jaké bude mít druhé číslo za trojkou číslice. Dále je zřejmé, že součtem $849+3XX$ získám buď číslo ve tvaru $11XX$ nebo $12XX$ , z nichž vyhovuje pouze druhá varianta, protože v první jsou dvě jedničky. Zatím tedy máme výsledek ve tvaru $849+3XX=12XX$ . Máme $4$ volné pozice, na které můžeme vybírat ze $4$ číslic $0$ , $5$ , $6$ , $7$ . Podíváme se na nulu. Nemůže být na konci ani jednoho čísla, protože, pokud by byla na konci druhého čísla, tak by na konci ve výsledku musela být devítka, což není možné, protože se už jednou ve výrazu vyskytuje. Pokud by nula byla na posledním místě ve výsledném čísle, tak by na konci druhého čísla musela být jednička, která už ovšem je na první pozici výsledku. Nula nemůže být ani na druhé pozici ve druhém čísle, protože v tom případě by výsledné číslo mělo tvar $11XX$ , což jsme vyloučili. Nula tedy musí být na třetí pozici výsledného čísla (protože jiná možnost už není) a máme tak $849+3XX=120X$ . Zbývá umístit číslice $5$ , $6$ , $7$ . Ať už bude kterákoli číslice na konci druhého čísla, dojde při součtu k "přenesení jedničky" do vyššího řádu, a aby ve výsledném čísle byla na třetí pozici nula, tak jak jsme zjistili, musí být na druhé pozici ve druhém čísle pětka, která jako jediná toto ze zbývajících čísel zaručí. Nyní máme $849+35X=120X$ . Zbývají dvě číslice $6$ a $7$ , přičemž už je evidentní, že výsledek musí být $849+357=1206$ ( $9+7=16$ , ale $9+6=15$ ).

Úloha 4

První část. Každý den Mirek přečetl o $4$ strany více než předchozí den, to znamená, že třetí den přečetl o $4$ strany více než druhý den a čtvrtý den o $4$ strany více než třetí den, takže rozdíl mezi čtvrtým a druhým dnem je $4+4=8$ stran.

Druhá část. První den Mirek přečetl nějaký počet stran, který neznáme a označíme si ho například $S$ . Druhý den přečetl o $4$ strany více tedy $S+4$ , třetí den $S+8$ a čtvrtý den $S+12$ , celkem za čtyři dny $76$ stran. To znamená, že celkový počet stran se rovná $4$ krát počet stran za první den plus přírůstky, kterých je $4+8+12=24$ . Takže $76$ přečtených stran "se skládá" z $24$ stran plus $4$ krát počet za první den. Když od $76$ odečteme těch $24$ stran zjistíme, kolik je $4$ násobek stran za první den: $76-24=52$ . A pokud toto číslo vydělíme $4$ , získáme počet stran přečtených za první den: $52/4=13$ . První den tedy Mirek přečetl $13$ stran a druhý den tak musel přečíst o $4$ strany více, což je $13+4=17$ stran.

Úloha 5

První část. Děti měly celkem $13*5+13*10=65+130=195$ korun. Pokud si je rozdělily rovným dílem, tak každé z $15$ ti děti dostalo $195/15=13$ korun.

Druhá část. Pokud měly do automatu vložit co nejmenší počet mincí, tak si musely primárně ponechat pětikoruny, protože na každou desetikorunu připadnou dvě pětikoruny. Jsou dvě možnosti rozdělení, které obě vedou k tomu, že do automatu vložily $5$ mincí - a to buď $5$ desetikorun nebo $1$ pětikorunu a $4$ desetikoruny. Je tomu tak proto, že $6$ dětí dostalo $2$ pětikoruny a $3$ korunové mince, $8$ dětí dostalo $1$ desetikorunu a $3$ korunové mince, a zbylé $1$ dítě dostalo buď $1$ pětikorunu a $8$ korunových mincí nebo $1$ desetikorunu a $3$ korunové mince.

Třetí část. V předchozí části jsme viděli, že do automatu děti vložily buď $5$ desetikorun a získaly tak $5*10=50$ korunových mincí a nebo vložily $1$ pětikorunu a $4$ desetikoruny a v tom případě obdržely $1*5+4*10=45$ korunových mincí.

Úloha 6

První část. Ze zadání vyplývá, že se koupilo o $1$ stolek a $2$ židle méně, než se zamýšlelo a zároveň máme odpovědět, kolik stojí $1$ stolek a $2$ židle. Z toho je zřejmé, že hledaná cena je rozdílem plánované částky a částky, která se nakonec zaplatila a tedy $9200-7800=1400$ $K č$ .

Druhá část. Víme, že $1$ stolek a $2$ židle stojí $1400$ $K č$ . Pokud od $9200$ odečteme $4*1400$ , zjistíme, kolik stojí $12$ židlí a cena jedné židle bude z této částky jedna dvanáctina. Takže $9200-4*1400=9200-5600=3600$ a $3600/12=300$ , což je cena $1$ židle. Proč je tomu tak? Vezměme si $1$ stolek a $2$ židle jako jakýsi balíček (jednotku). Pokud budeme tento balíček opakovaně myšleně odebírat z plánovaného nákupu $4$ stolků a $20$ židlí, dostaneme postupně: $3$ stolky a $18$ židlí, $2$ stolky a $16$ židlí, $1$ stolek a $14$ židlí, žádný stolek a $12$ židlí. Neboli odebrali jsme $4$ krát $1$ stolek a $2$ židle a zůstalo nám $12$ židlí. Na počátku byla cena $9200$ $K č$ a na konci je nižší o $4$ krát cena za $1$ stolek a $2$ židle, což je $4*1400=5600$ $K č$ . Neboli $12$ židlí stojí $9200-5600=3600$ $K č$ a tedy jedna židle stojí $3600/12=300$ $K č$ .

Úloha 7

První část. Vedu kolmici k přímce $p$ bodem $M$ a její průsečík s přímkou $p$ označím $D$ . Podobně vedu kolmici bodem $N$ a její průsečík s přímkou $p$ označím $C$ . Nyní znám délku strany čtverce - je jím vzdálenost bodů $C$ a $D$ . Vezmu tuto vzdálenost do kružítka, zabodnu do bodu $C$ a vytvořím průsečík kružnice s polopřímkou $C N$ , tím získám bod $B$ . Obdobně zabodnu kružítko do bodu $D$ a vytvořím průsečík kružnice s polopřímkou $D M$ , tím získám bod $A$ . Pomocí pravítka spojím body $A$ a $B$ - tím jsem zkonstruoval čtverec $A B C D$ .

Druhá část. Pomocí pravítka narýsuju přímku procházející body $M$ a $N$ . Vedu kolmici k přímce $M N$ bodem $N$ a její průsečík s přímkou $p$ označím $P$ . Vezmu do kružítka vzdálenost bodů $N$ a $P$ , zabodnu kružítko do bodu $N$ a vytvořím průnik kružnice s přímkou $M N$ . Získám tak dva průsečíky $O_1$ a $O_2$ , které jsou hledanými vrcholy pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku $N O P$ .

Úloha 8

To, že je obvod bílého čtverce dvakrát menší než obvod tmavého, zároveň znamená, že délka strany bílého čtverce je polovinou délky strany tmavého. Označím si délku strany bílého čtverce $a$ , délka strany tmavého potom bude $2a$ . Obvod kteréhokoli obrazce je roven součtu délek všech jeho stran. Pokud je obvod prvního obrazce $36$ $c m$ , pak platí $36=12a$ , tudíž $a=3$ .

První část. Obvod tmavého čtverce je $4*2a=4*2*3=24$ $c m$ .

Druhá část. Obvod druhého obrazce je $48$ $c m$ .

Třetí část. Obvod třetího obrazce je $66$ $c m$ , což je o $18$ $c m$ více než je obvod druhého obrazce.

Úloha 9

Jestliže první čas je $14$ : $30$ a interval je $8$ hodin, tak další časy jsou $22$ : $30$ a $6$ : $30$ . Nejjednodušší a proti zbytečným chybám odolné mi přijde při řešení použít výpis časů, kdy se tableta bere:

Pá      14:30 22:30
So 6:30 14:30 22:30
Ne 6:30 14:30 22:30
Po 6:30 14:30 22:30
Út 6:30 14:30 22:30
St 6:30 14:30 22:30
Čt 6:30 14:30 22:30
Pá 6:30

Řešení již teď spočívá pouze v práci s tabulkou a jednoduchém počítání.

Úloha 10

Veronika za čtvrt hodiny neboli za $15$ minut vyprázdnila $5$ krabic. To znamená (pokud pracovala stále stejným tempem), že 1 krabici vyprázdila za jednu pětinu z $15$ minut, to znamená za $15/5=3$ minuty. Desetina z $8$ hodin v minutách je $8/10*60=8*6=48$ minut. Pokud pracovala $48$ minut a každé $3$ minuty vyprázdnila jednu krabici, tak to znamená, že celkem vyprázdnila $48/3=16$ krabic.

Úloha 11

Použít představivost...

Úloha 12

Podívám se, kolik místa stavba zabírá. Ve směru zleva doprava má stavba maximální rozměr $3$ krychličky. Ve směru zepředu dozadu má $5$ krychliček. Ve směru zdola nahoru má $3$ krychličky. Máme sestavit krychli tak, aby obsahovala co nejméně krychliček za dodržení daných pravidel. Můžu přemístit jednu krychličku - využiju toho a přemístím krychličku úplně vpředu kamkoli "dovnitř" budoucí krychle, která bude mít délku strany $4$ krychličky. Za daných pravidel nejsem schopen sestavit krychli o straně $3$ krychličky a krychle o straně $5$ krychliček by byla zjevně větší než o straně $4$ . Tudíž mám základ pro krychli $4$ x $4$ x $4$ - na to potřebuju celkem $4*4*4=64$ krychliček. Spočítám, kolik jich mám v rozestavěné krychli - je jich tam $13$ . To znamená, že musím ještě dodat $64-13=51$ krychliček.

Úloha 13

Z grafu vyčteme hodnoty pro jednotlivé měsíce $240$ , $180$ , $120$ , $60$ , $80$ , $160$ , $240$ .

První část. Hodnoty klesaly pouze od února do dubna, tudíž to musí být jeden z těchto měsíců. Podmínka platí pro březen, protože $180-180/3=180-60=120$ .

Druhá část. Podmínku splňuje duben, protože $120-120/2=120-60=60$ .

Třetí část. Hodnoty rostly v období od května do července. Podmínce vyhovuje červenec, protože $160+160/2=160+80=240$ .

Úloha 14

V zadání úlohy není řečeno, jestli je rychlost autíček rozdílná, nebo jestli je rozdíl v časech na kolo dán pouze tím, že každé autíčko má jinak dlouhou trasu (vnitřní autíčko ji má kratší). Mně vyhovuje představa (která není v rozporu se zadáním), že autíčka nejezdí vedle sebe, ale nad sebou a tudíž jednak mají obě stejně dlouhou trasu a také se můžou "míjet". Autíčka mají rozdílné ale stálé rychlosti, díky čemuž si první autíčko vytváří náskok, který se stále zvětšuje. Můžu se na situaci také podívat tak, že rychlejší autíčko dohání pomalejší, které je jakoby o kolo napřed. Jakmile rychlejší autíčko "dojede" pomalejší, začíná vše nanovo. Tento restart nebo míjení autíček nastává každá $4$ kola rychlejšího autíčka a každá $3$ kola pomalejšího.

První část. K míjení dochází každá $4$ kola rychlejšího (prvního) autíčka, tudíž tato situace nastala $2$ krát, protože $10/4=2+1/2$ .

Druhá část. K míjení též dochází každá $3$ kola pomalejšího (druhého) autíčka a tak míjení nastalo $16$ krát, protože $50/3=16+2/3$ .