veiner.eu
ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTIÚLOHYPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA VŠMATURITNÍ ZKOUŠKAPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA SŠNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLADOUČOVÁNÍPřidat úlohu

Přijímací zkouška z matematiky na VŠ - rok 2015

18.11.2022

V tomto textu projdu zadání z matematiky u přijímaček na Matematicko-fyzikální fakultu Univerzity Karlovy z roku 2015, přičemž se pokusím relativně podrobně popsat řešení jednotlivých úloh.

Fakulta tato zadání zveřejňuje na stránkách pro uchazeče o studium. Zadání je k dispozici ve formě PDF souboru - netuším ovšem, jak je to s autorskými právy. Proto zde zadání nebudu uvádět a pouze poskytnu webový odkaz na dané PDFko: zadání pro rok 2015 je zde.

Zadání je ve formě testu, kdy ke každé z deseti úloh je 5 otázek, na které lze odpovědět ANO či NE. Je možné více správných odpovědí. Poskytované zadání obsahuje pouze správné odpovědi na otázky, ale už ne podrobný popis řešení.

Řešení úloh: U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10

Úloha 1

Funkce je sudá, protože:

$$f(-x)=sin({(-x)}^2)=sin(x^2)=f(x)$$

Z toho plyne, že funkce není prostá.

Funkce není rostoucí, protože její první derivace $(sin(x^2))'=2xcos(x^2)$ není kladná pro všechna $x$.

Funkce není nezáporná, nicméně je omezená. Její funkční hodnoty oscilují, stejně jako u základní funkce $sin(x)$, v intervalu $❬-1;1❭$.

Úloha 2

V rovnostranném trojúhelníku je střed kružnice opsané a vepsané totožný, a leží v průsečíku jeho výšek, které jsou zárověň těžnicemi. Středem kružnic je tedy těžiště, o němž víme, že dělí težnice v poměru $1:2$. Označíme-li délku těžnice $t$, pak poloměr kružnice opsané je $r_1={2/3}t$ a poloměr kružnice vepsané $r_2={1/3}t$.

Obsahy těchto kružnic jsou potom rovny $P_1={4/9}πt^2$ a $P_2={1/9}πt^2$, a poměr obsahů je tedy roven ${P_1}/{P_2}=4$.

Odpovědi na otázky tudíž jsou: poměr je celé (a tedy racionální číslo), $P_1$ je čtyřikrát větší než $P_2$ a poměr nezávisí na délce strany trojúhelníku.

Úloha 3

Spočítáme diferenci aritmetické posloupnosti ${60-5}/5=11$.

Hodnoty členů vložené posloupnosti čtyř čísel jsou potom rovny $a=5+11=16$, $b=27$, $c=38$, $d=49$.

Součet $a+b+c+d=4/2*(16+49)=130$.

Součet $a+d=16+49=65=27+38=b+c$.

Součin $a*d=16*49=2^4*7^2≠b*c=27*38=2*3^3*19$.

A nakonec součin $a*b*c*d=16*27*38*49=27*(16*38*49)=9*(3*16*38*49)$, což je číslo dělitelné devíti.

Úloha 4

Jelikož logaritmus je definovaný pouze pro kladná čísla, pak definiční obor pro řešení rovnice jsou čísla z intervalu $x∈(2/5;∞)$.

Řešení rovnice rozdělíme dle absolutní hodnoty:

$$x∈(2/5;1❭$$

$$-ln(x)+ln(2x)=ln(5x-2)$$

$$2=5x-2$$

$$x=4/5$$

Jelikož $4/5∈(2/5;1❭$, $4/5$ jsou řešením rovnice.

$$x∈(1;∞)$$

$$ln(x)+ln(2x)=ln(5x-2)$$

$$2x^2=5x-2$$

$$2x^2-5x+2=0$$

$$x_{12}={5±√{25-16}}/4={5±3}/4$$

$$x_1=2$$

$$x_2=1/2$$

Z $x_1=2$ a $x_2=1/2$ pouze $2∈(1;∞)$, tudíž číslo $2$ je též řešením rovnice.

Závěrem můžeme řící, že množina řešení $M=\{4/5;2\}$ je dvouprvková, obsahuje pouze kladná čísla. V intervalu $❬2;∞)$ i v intervalu $(0;1)$ leží právě jedna hodnota z množiny řešení. Naopak v intervalu $(1;2)$ se nenachází ani jedna hodnota z množiny řešení.

Úloha 5

Na začátku si jednu stranu mince označím $1$ a druhou stranu $0$. Nyní spočítáme počet všech možností, jak může hod pěti mincemi dopadnout. Tento počet zjistíme součtem možností, kdy padne nula, jedna, dvě, tři, čtyři a pět jedniček.

Počet možností, že nepadne žádná jednička je roven jedné: $00000$.

Počet možností, že padne jedna jednička je roven pěti: $10000$,$01000$,$00100$,$00010$,$00001$.

Počet možností, že padnou dvě jedničky je roven deseti: $11000$,$10100$,$10010$,$10001$,$01100$,$01010$,$01001$,$00110$,$00101$,$00011$.

Počet možností, že padnou tři jedničky je též roven deseti: $11100$,$11010$,$11001$,$10110$,$10101$,$10011$,$01110$,$01101$,$01011$,$00111$.

Počet možností, že padnou čtyři jedničky je roven pěti: $11110$,$11101$,$11011$,$10111$,$01111$.

A konečně počet možností, že padne pět jedniček je roven jedné: $11111$.

Celkem tedy máme $1+5+10+10+5+1=32$ možností.

Varianta, kterou zadání označuje jako vyváženou pozici, je možnost, kdy padnou dvě nebo tři jedničky. To znamená, že těchto možností je celkem $10+10=20$ a tím pádem pravděpodobnost této situace je $20/32=5/8$. Tato hodnota je větší než $1/2$ a menší než $2/3$.

Další z variant, kterou zadání označuje jako nevyváženou pozici, je možnost, kdy padne jedna nebo čtyři jedničky. To znamená, že těchto možností je celkem $5+5=10$ a pravděpodobnost této situace potom je $10/32=5/16$. Tato hodnota je menší než $1/2$ i $1/3$.

Poslední varianta, označená jako extrémní pozice, je možnost, kdy padne žádná nebo pět jedniček. Těchto možností je celkem $1+1=2$ a pravděpodobnost této situace potom je $2/32=1/16$. Tato hodnota je menší než $1/10$.

Úloha 6

Spočítáme dle pythagorovy věty:

$$|AE|=√{30^2-24^2}=√{900-576}=√{324}=√{4*81}=2*9=18<20$$

$$|FD|=√{25^2-24^2}=√{625-576}=√{49}=7>5$$

Vidíme, že $|AE|$ i $|FD|$ jsou racionální čísla. Spočítáme obvod a obsah lichoběžníku:

$$o=2*50+30+25+18+7=180$$

$$S=1/2*(75+50)*24=12*125=1250+250=1500$$

Úloha 7

Spočítáme hodnotu označenou v zadání $V_2=8*7+8*7=8*14=112$, což je sudé číslo, které je menší než $450$.

Podobně hodnota $V_3=8*7*8*7=56*56=56^2=3136$, což je větší číslo než $3000$ a druhá odmocnina $56$ je zjevně celé číslo.

Abysme vyvrátili poslední tvrzení, stačí najít jednu jedinou situaci, ve které z dobré pozice se čtyřmi věžemi nepůjde přidáním jedné další věže vytvořit dobrou pozici s pěti věžemi. Taková 4-věžová situace vypadá například tak, že čtyři věže jsou umístěny ve všech rozích šachovnice. V takové situaci, ať umístíme další věž kamkoli, porušíme stanovená pravidla. Tudíž tvrzení není pravdivé.

Úloha 8

Číslo $A=4$, protože stačí křížkem označit všechna čtyři políčka "vnitřního" čtverce 2*2.

Číslo $B=8$, protože křížky umístíme po celém obvodu "vnitřního" čverce 3*3.

Číslo $C=2$, protože křížky umístíme na jednu z úhlopříček "vnitřního" čtverce 2*2.

Úloha 9

Stanovíme podmínky řešitelnosti:

$$1-{(sin x)}^2≥0$$

$$x∈R$$

$$1-{(cos x)}^2>0$$

$$x∈R\\\{k*π\}, k∈Z$$

Rovnici umocníme na druhou, využijeme vztahu mezi sinem a cosinem, rovnici zlogaritmujeme:

$$1-{(sin x)}^2=e^{ln(1-{(cos x)}^2)}$$

$${(cos x)}^2=e^{ln(1-{(cos x)}^2)}$$

$$ln({(cos x)}^2)=ln(e^{ln(1-{(cos x)}^2)})$$

$$e^{ln({(cos x)}^2)}=e^{ln(1-{(cos x)}^2)}$$

$$ln({(cos x)}^2)=ln(1-{(cos x)}^2)$$

$${(cos x)}^2=1-{(cos x)}^2$$

$${(cos x)}^2=1/2$$

$$cos(x)=±{√2}/2$$

$$x∈\{π/4+k*π/2\}, k∈Z$$

Řešení rovnice, které jsme nalezli, vyhovuje podmínkám stanoveným na začátku. Můžeme tedy zodpovědět otázky. Množina řešení rovnice není konečná. Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, tak je jím i číslo opačné, protože (hodnotu $k$ nyní bereme jako parametr):

$$-x=-π/4-k*π/2=π/4-{2/4}π-k*π/2=π/4+(-1-k)π/2$$

$$(-1-k)∈Z$$

V intervalu $(π/2;π)$ leží právě jedno řešení rovnice a to číslo ${3/4}π.$ Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak je jím i jeho trojnásobek, protože (hodnotu $k$ opět bereme jako parametr):

$$3*x=3*(π/4+k*π/2)={3/4}π+k*{3/2}π=π/4+{2/4}π+k*{3/2}π=$$

$$=π/4+(1+3k){π/2}$$

$$(1+3k)∈Z$$

A k poslednímu tvrzení. Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, potom je tangens tohoto čísla roven buď jedné nebo mínus jedné.

Úloha 10

Jednotlivé soutěžící, resp. počet bodů, které získali v soutěži, si označíme počátečními písmeny jejich jmen. Dále si zapíšeme vztahy mezi jejich bodovým ohodnocením tak, jak je vyčteme ze zadání. Získáme tyto nerovnosti:

$$A<E<D$$

$$A<B<D$$

$$E<F<B$$

$$C<B$$

$$C<F$$

Pokud těchto pět nerovností zkombinujeme, dokážeme je zredukovat na pouhé dvě:

$$A<E<F<B<D$$

$$C<F<B<D$$

Více ze zadaných informací získat nedokážeme. Odpovíme tedy na otázky: nejvíce bodů získala Dana, Eva byla mezi posledními třemi, Anička byla poslední nebo předposlední, Fanda byl na třetím místě.