MATEMATIKA ELEKTRONIKA POČÍTAČE HRY OSOBNÍ KONTAKT

ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTIÚLOHYPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA VŠMATURITNÍ ZKOUŠKAPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA SŠNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLADOUČOVÁNÍPřidat úlohu

Přijímací zkouška z matematiky na VŠ - rok 2019

3.2.2020

V tomto textu projdu zadání z matematiky u přijímaček na Matematicko-fyzikální fakultu Univerzity Karlovy z roku 2019, přičemž se pokusím relativně podrobně popsat řešení jednotlivých úloh.

Fakulta tato zadání zveřejňuje na stránkách pro uchazeče o studium. Zadání je k dispozici ve formě PDF souboru - netuším ovšem, jak je to s autorskými právy. Proto zde zadání nebudu uvádět a pouze poskytnu webový odkaz na dané PDFko: zadání pro rok 2019 je zde.

Zadání jsou ve formě testů, kdy ke každé úloze je 5 otázek, na které lze odpovědět ANO či NE. Je možné více správných odpovědí. Poskytované zadání obsahuje pouze správné odpovědi na otázky, ale už ne podrobný popis řešení. Jsou dvě varianty testů A a B - na úlohu se budu vždy odkazovat písmenem varianty a číslem úlohy - např. A1.

Řešení úloh: A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10

Úloha A1

Zjistíme, zda je funkce sudá nebo lichá (nebo ani jedno).

Funkce je tedy lichá (platí $f(-x)=-f(x)$). Porovnáním první derivace s nulou zjistíme, zda je funkce rostoucí či klesající (nebo ani jedno).

Zjistili jsme, že funkce je klesající pro všechna $x∈R$ (výraz v závorce je kladný pro všechna $x$). Z toho plyne, že zadaná funkce je prostá (neexistují $x_1$, $x_2$ taková, že $f(x_1)=f(x_2)$) a tudíž není periodická (muselo by pro každé $k∈Z$ platit $f(x)=f(x+kp)$, kde $p∈R$ je konstanta zvaná perioda).

Úloha A2

Jelikož je úhel $α$ větší než $90°$, jedná se o úhel naproti základně rovnoramenného trojúhelníku. Spočítáme hledané hodnoty v trojúhelníku:

Střed kružnice opsané bude ležet na ose strany $BC$. Nebude ovšem ležet přímo na straně $BC$, protože vzdálenost k vrcholům $B$ i $C$ je sice shodně $4$, ale vzdálenost k vrcholu $A$ je rovna $v_a=4/{√3}<4$. Střed kružnice tedy musí ležet "pod" stranou $BC$ mimo trojúhelník, aby se zvětšila vzdálenost k vrcholu $A$.

Úloha A3

Ihned vidíme, že pro $a≥0$ nemá rovnice v $R$ řešení (graf, který je součtem paraboly a "véčka" absolutní hodnoty, je celý nad x-ovou osou). Budeme se tedy zabývat pouze variantou, kdy $a<0$. Odstraníme absolutní hodnotu a řešíme rovnici:

Pro $a=-2$ tak máme $x∈\{-1;1\}$. Pro $a∈(-2;0)$ nemá rovnice v $R$ řešení. Pro $a∈(-∞;-2)$ dostaneme čtyři řešení dané výrazem výše (prostřídají se všechny kombinace plusů a mínusů).

Úloha A4

Pro důkaz, že tvrzení není pravdivé pro danou dvojici množin, stačí najít jediný případ, kdy tvrzení neplatí. Máme tedy $∀a∈A$,$b∈B$: $a<b$ $⇒$ $∃c∈B$ $a<c<b$.

První dvojice množin. Z množiny $A$ vyberu číslo "co nejblíže" nule a stejně tak z $B$ vyberu číslo co nejblíže nule, přesto vždy bude v $B$ existovat ještě menší číslo, čímž bude podmínka splněna.

Druhá dvojice množin. Z množiny $A$ vyberu číslo "co nejblíže" nule a z $B$ vyberu nulu. V takovém případě v $B$ není menší číslo, které bych mohl vybrat. Podmínka není splněna.

Třetí dvojice množin. V tomto případě neexistuje dvojice $a$, $b$, která by splnila požadavek $a<b$. Tvrzení je tedy platné.

Čtvrtá dvojice množin. Z množiny $A$ vyberu číslo "co nejblíže" nule a stejně tak z $B$ vyberu větší číslo co nejblíže nule, přesto vždy bude v $B$ existovat ještě menší číslo. Stejně tak s jedničkou. Podmínka bude splněna vždy.

Pátá dvojice množin. To samé jako předchozí případ.

Úloha A5

V dalším si uvědomíme, že platí $|CG|=d$, protože trojúhelník $CFG$ je též rovnostranný.

Úloha A6

Vzdálenost bodů $A$ a $B$ spočítáme jako délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku pomocí Pythagorovy věty:

Úloha A7

Poloměr $i$-té čtvrtkružnice označíme $r_i$, podobně délku $l_i$. Ze zadání víme, že platí $r_{i+1}=0.9r_i$. Pro $n>0$ tedy platí $r_n=r_1{0.9}^{n-1}=100*{0.9}^{n-1}$ a $l_n=1/4*2πr_n=1/2π100*{0.9}^{n-1}=50π{0.9}^{n-1}$. Můžeme počítat.

Úloha A8

Určíme všechny hodnoty pravděpodobností a následně je porovnáme.

$P(A)$ je rovna podílu počtu případů, kdy je na jedné (určené) kostce (ze dou kostek) menší číslo než na druhé, a počtu všech možností. Všech možností je v tomto případě $6*6=36$. Pokud na jedné kostce padne jednička, tak je u druhé kostky pět možností, že padne větší číslo. Pokud padne dvojka, tak jsou čtyři možnosti ... Celkem je to $5+4+3+2+1=15$ možností. A tedy $P(A)=15/36=5/12$.

Počet všech možností je v případě $P(B)$ roven $6*6*6=216$. Počet možností, kdy je alespoň na dvou kostkách ze tří shodné číslo, spočítám jako součet počtu případů, kdy jsou všechny tři hodnoty stejné a počtu případů, kdy je právě na dvou kostkách stejné číslo. Počet v prvním případě je roven $6$, a ve druhém $6*5+6*5+6*5=90$. To proto, že na dvou kostkách je stejné číslo (to je 6 možností) a k nim vybírám jednu z pěti zbylých (ze šesti nemůžu, protože bych uvažoval možnost, že jsou čísla stejná na všech třech kostkách - to řeším zvlášť). Úvodní dvojici kostek můžu vybrat třemi způsoby. Mám tedy $P(B)={6+90}/216=96/216=4/9$.

Součet dvou čísel bude sudý, pokud jsou obě čísla sudá nebo obě lichá. To ke každému ze šesti čísel černé kostky přiřazuje tři čísla bílé kostky - celkem tedy $6*3=18$ možností. Na zelené kostce nezáleží, a ta tedy zvyšuje počet možností na šestinásobek. Máme tak $P(C)={18*6}/216=108/216=1/2$.

Porovnáme pravděpodobnosti:

Úloha A9

Dělitel čísla $N$ bude mít tvar $3^a7^b$, kde $a$, $b$ jsou celá čísla, pro která platí $a∈⟨0;2⟩$ a $b∈⟨0;4⟩$. Počet dělitelů čísla $N$ spočítáme jako $3*5=15$, kde $3$ je počet všech různých posloupností tvořených trojkami o počtu nula až dva, a $5$ je počet různých posloupností tvořených nula až čtyřmi sedmičkami.

Číslo $120$ rozložíme na součin prvočísel $120=3*40=3*5*8=2^3*3*5$. Počet dělitelů čísla $120$ tedy je $4*2*2=16$.

Nejmenší číslo, které má stejný počet dělitelů jako číslo $N$, tedy $15$ dělitelů, je číslo $144$. To proto, že číslo $15$ lze zapsat pouze jako součin $3*5$. To znamená, že prvočíselný rozklad hledaného čísla obsahuje součin dvou prvočísel, z nichž jedno je umocněné na druhou a druhé na čtvrtou. Aby bylo takové číslo nejmenší možné, zvolíme variantu s nejmenšími prvočísly $3^2*2^4=9*16=144$.

Zřejmě existuje jednodušší způsob, ale spodní odhad počtu čísel menších než $N$ se stejným počtem dělitelů můžeme provést následovně. Víme, že hledaná čísla budou mít tvar $x^2y^4$, kde $x$ a $y$ jsou prvočísla. Dvojice, které splňují požadavky jsou například $[x,y]=\{[2,3],[2,5],[2,7],[3,2],[3,5],[5,2],[5,3],[7,2],[7,3],[11,2],[11,3],[13,2],[13,3],[17,2],[19,2]\}$. Hledaných čísel je tedy nejméně $15$.

Úloha A10

Použijeme úpravu $sin(√{x^2})=sin|x|$, rovnost $sin(-x)=-sin(x)$ a substituci $a=sin(x)$:

Řešením rovnice je množina $\{-270°-k*360°;270°+k*360°\}$, kde $k∈N$. Je zřejmě, že pokud je řešením číslo $x$, pak je jím i $-x$. Pokud je $x$ řešením, pak ani $x+180°$, ani $x+360°$ nemusí být řešením, stačí vzít $x=-270°$.

Ověříme, jestli je dvojnásobek řešení též řešením rovnice.

To samé provedeme pro pětinásobek.

Vidíme, že dvojnásobek není řešením a pětinásobek naopak je řešením rovnice. Pětinásobek jsme uvedli do tvaru řešení $270°+360°*q$, kde $q$ je přirozené číslo. U dvojnásobku to ovšem možné není.

Úloha B1

Přepíšeme definici funkce:

Určíme $f(-x)$:

Funkce není ani sudá ani lichá (neplatí $f(x)=f(-x)$ ani $f(x)=-f(-x)$).

Určíme první derivaci funkce:

Pro všechna $x∈R$ platí $f'(x)>0$, funkce je tedy rostoucí v celém definičním oboru. To znamená, že je prostá a není periodická.

Úloha B2

Spočítáme všechny požadované hodnoty, přičemž budeme využívat Pythagorovu větu.

Aby byl trojúhelník $AS_bS_c$ rovnoramenný, musely by mít právě dvě jeho strany stejnou délku. Známe délky stran ${|AS_b|}=√{84}=2√{21}$ a $|{S_bS_c}|=6$, které jsou různé. Spočítáme délku strany $AS_c$.

Úloha B3

Rovnici upravíme:

Z tohoto zápisu vidíme, že pokud bude $a≥0$, pak jediným řešením je $x=0$. V případě $a<0$ máme tři řešení $x_1=0$, $x_{23}=±a$.

Úloha B4

Budou se nám hodit negace dvou z uvedených výroků $B$: alespoň jedno sudé přirozené číslo není v množině $M$ obsaženo, $C$: alespoň jedno prvočíslo není v množině $M$ obsaženo. Nyní k jednotlivým tvrzením.

To, že množina $M$ neobsahuje žádná lichá čísla, nevypovídá nic o sudých číslech.

Pokud jsou v $M$ všechna prvočísla, pak jsou v ní nutně též lichá čísla.

Přítomnost všech sudých čísel nevypovídá nic o prvočíslech v $M$, kromě toho, že je obsaženo prvočíslo $2$.

Je zjevné, že v $M$ buď budou nebo nebudou lichá čísla.

Výrok není pravdivý v případě, kdy množina $M$ je identická s množinou všech přirozených čísel. Pak obsahuje všechna sudá čísla i všechna prvočísla.

Úloha B5

Pokud si kružnice očísluju postupně zleva do prava, zeshora dolů, tak středy $1.$, $6.$ a $7.$ kružnice leží ve vrcholech pravoúhlého trojúhelníku o délce přepony $4$ $cm$ a délce vodorovné odvěsny $2$ $cm$. Délku zbývající odvěsny neboli vzdálenost středů $1.$ a $6.$ kružnice spočítám pomocí Pythagorovy věty. Výška útvaru bude potom rovna součtu této vzdálenosti a dvou poloměrů kružnice.

Budeme porovnávat s uvedenými hodnotami.

Úloha B6

Výšku trojúhelníku spočítáme pomocí Pythagorovy věty. Obsah šedé části bude roven rozdílu obsahu celého trojúhelníku $ABC$ a obsahu tří rohových částí. Každá z těchto částí představuje jednu šestinu obsahu kruhu, protože úhel u vrcholu rovnostranného trojúhelníku je roven $60°$. Z toho máme (${60°}/{360°}=1/6$).

Výraz pro plochu se pokusíme aproximovat pomocí racionálních čísel. Ludolfovo číslo nahradíme hodnotou $3.14$, čímž hodnotu výrazu zvětšíme (pí se ve výrazu odčítá a my jsme použili menší číslo). Odmocninu ze tří nahradíme číslem $1.8$, čímž hodnotu upraveného výrazu ještě dále zvětšíme (odmocnina ze tří je o něco menší než použitá hodnota). Dostaneme:

Úloha B7

Ze zadání víme $r_1=100$, $r_{i+1}=0.8*r_i$, $r_i=100*0.8^{i-1}$, $l_i=πr_i=100π0.8^{i-1}$.

Úloha B8

Počet prvků množiny $X$ je roven počtu všech možných přeuspořádání (permutace) šestice prvků, tedy:

Množinu $Y$ můžu vytvořit z množiny $X$ tak, že z ní vynechám všechny permutace prvků $\{2;4;6\}$ až na jednu. Počet prvků $Y$ se tak bude rovnat počet prvků $X$ děleno počtem permutací tří prvků:

Počet prvků $Z$ bude roven počet permutací tří prvků (sudá čísla na začátku čísla) krát počet permutací tří zbývajících číslic (na konci čísla):

Určíme průnik $Y$ a $Z$. Budou to všechna šesticiferná čísla, která mají tvar $246XXX$, kde $XXX$ na konci jsou všchny permutace číslic $\{1;3;5\}$, kterých je $3!=6$. Zjistili jsme tedy, že $|Y∩Z|=3!=6$.

Úloha B9

Číslo $49$ zapíšme jako součin prvočísel $49=7*7$. Pokud má být druhým největším dělitelem (po čísle samém), tak je hledané číslo rovno násobku $49$ a některého z prvočísel menších nebo rovných $7$: $\{2;3;5;7\}$. Celkem jsou to tedy čtyři čísla.

Úloha B10

Stanovíme podmínky řešitelnosti. Logaritmus je definován pouze pro kladná čísla a tak máme:

Sloučením máme podmínku:

Řešíme rovnici:

Řešením jsou tedy všechna $x$ z definičního intervalu plus perioda ($k$ je celé číslo):