veiner.eu
ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTIÚLOHYPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA VŠMATURITNÍ ZKOUŠKAPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA SŠNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLADOUČOVÁNÍPřidat úlohu

Přijímací zkouška z matematiky na VŠ - rok 2022

21.12.2022

V tomto textu projdu zadání z matematiky u přijímaček na Matematicko-fyzikální fakultu Univerzity Karlovy z roku 2019, přičemž se pokusím relativně podrobně popsat řešení jednotlivých úloh.

Fakulta tato zadání zveřejňuje na stránkách pro uchazeče o studium. Zadání je k dispozici ve formě PDF souboru - netuším ovšem, jak je to s autorskými právy. Proto zde zadání nebudu uvádět a pouze poskytnu webový odkaz na dané PDFko: zadání pro rok 2022 je zde.

Zadání jsou ve formě testů, kdy ke každé úloze je 5 otázek, na které lze odpovědět ANO či NE. Je možné více správných odpovědí. Poskytované zadání obsahuje pouze správné odpovědi na otázky, ale už ne podrobný popis řešení. Jsou dvě varianty testů A a B - na úlohu se budu vždy odkazovat písmenem varianty a číslem úlohy - např. A1.

Řešení úloh: A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10

Úloha A1

Nejprve určíme definiční obor funkce:

x2+1>0

xR

Zjistíme, zda je funkce sudá nebo lichá (nebo ani jedno):

f(x)=(x)*ln((x)2+1)=x*ln(x2+1)=f(x)

Funkce je tedy lichá (platí f(x)=f(x)). Spočítáme první derivaci funkce:

f(x)=ln(x2+1)+2x2x2+10

Vidíme, že první derivace je pro všechna xR větší nebo rovna nule. (U druhého členu v součtu je jeho nezápornost zřejmá a u logaritmu si všimneme, že argument bude vždy větší nebo roven jedné.) Funkce je tedy rostoucí, tudíž neperiodická a prostá. (V bodě x=0, kde je f(0)=f(0)=0, nemá funkce minimum ani maximum, ale inflexní bod.)

Úloha A2

Stanovíme podmínky řešitelnosti rovnice:

sin(x)>0

x{(0;π)+k*2π},kZ

Budeme upravovat rovnici:

ln(eln((sin(x))4))=ln((sin|x|)2)

ln((sin(x))4)=ln((sin|x|)2)

(sin(x))4=(sin|x|)2

(sin(x))2*((sin(x))21)=0

(sin(x))2=1

sin(x)=±1

x{π2+k*2π},kZ

Při řešení rovnice jsme jednak vzali v úvahu rovnost (sin|x|)2=(sin(x))2, a dále podmínky řešitelnosti, kdy musí být sin(x)>0.

Nyní k odpovědím na otázky. Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak číslo k němu opačné jím není. Toto tvrzení můžu dokázat buď tím, že v jednom případě - např. x=π2 - ukážu, že opačné číslo π2 není řešením rovnice. Anebo to dokážu pro všechna řešení. To si teď provedeme (kZ považujeme za parametr):

x=π2k*2π=π2πk*2π=π2+2π*(k12)

(k12)Z

Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak číslo o π větší jím není, což je zjevné ze zápisu množiny řešení. Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak číslo o 2π větší jím je, což je též zjevné ze zápisu množiny řešení. Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak číslo dvakrát větší jím není. Stačí uvést jeden příklad, např pro x=π2 je dvojnásobkem číslo 2x=π, které řešením rovnice není. Podobně poslední tvrzení. Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak číslo třikrát větší jím není. Opět stačí ukázat jediný příklad, kdy to neplatí. Např. vezmu x=π2, k němuž 3x=32π, což není řešením rovnice.

Úloha A3

Upravíme nerovnici:

x24x+30

(x1)(x3)0

Dále řěšíme metodou nulových bodů, kdy zjistíme, že kvadratický trojčlen je menší nebo roven nule v intervalu <1;3>. Řešením nerovnice jsou tedy všechna x<1;3>.

Nyní můžeme zodpovědět otázky k úloze. Množina všech řešení obsahuje pouze kladná čísla, tudíž nejsou záporná. Není pravda, že všechna řešení jsou větší než 2, protože např. 1<2. Je pravda, že množina všech řešení nerovnice je obsažena v intervalu <83;227>, protože 83=223<33=1 a zároveň 227>3. Interval <1;3> je obsažen v množině řešení, tudíž není pravda, že tyto dvě množiny nemají žádný společný prvek.

Úloha A4

Užijeme vztah pro součet prvních n prvků aritmetické posloupnosti:

s10=210=102(a1+a10)=5(a1+a1+9d)=10a1+45d

s11>20=610=102(a11+a20)=5(a1+10d+a1+19d)=10a1+145d

Máme soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, prvním členu posloupnosti a1 a diferenci d. Řešíme:

210=10a1+45d

610=10a1+145d

____________________

400=100d

d=400100=4

a1=21045*410=3

Můžeme odpovědět na otázky. d=4, a1=3. a11=3+10*4=43. a20=3+19*4=79. s8>13=62(3+7*4+3+12*4)=3*82=246.

Úloha A5

Stanovíme podmínky řešitelnosti nerovnice:

x+10

x1

Nerovnici upravíme a řešíme metodou nulových bodů:

|x+3|x+120

|x+3|2x2x+10

Nulové body jsou x01=1, x02=1 a řešením nerovnice je interval (1;1>.

Nyní můžeme odpovědět na otázky. Ano, řešením rovnice je polouzavřený interval. Ne, řešením rovnice není číslo 2. Ano, řešením rovnice je číslo 1π. Ne, řešením rovnice není číslo 5.

Úloha A6

Přímka p protíná osu x v bodě, jehož y-ová souřadnice je nulová, spočítáme:

y=0=23t

t=23

x=1+2*23=73

Přímka q protíná osu y v bodě, jehož x-ová souřadnice je nulová, spočítáme:

x=0=2+6t

t=13

y=5+4*13=193

Ověříme zda přímka p prochází bodem [5;4] a zároveň zda přímka q prochází bodem [6;4]:

x=5=1+2t

t=2

y=23*2=4

x=6=2+6t

t=43

y=5+4*43=3134

Tudíž v prvním případě je tvrzení pravdivé, ve druhém nikoliv.

Pokud mají být přímky p a q na sebe kolmé, pak musejí být kolmé též jejich směrové vektory. To zjistíme prostřednictvím jejich skalárního součinu. Pokud bude roven nule, jsou kolmé:

u=(2;3)

v=(6;4)

uv=2*63*4=0

Ano přímky jsou na sebe kolmé.

Úloha A7

Rovnice je řešitelná pro všechna xR. Řešíme metodou nulových bodů (x0=0):

x<0

ex+1=6ex

ex=17

x=ln(17)

x0

ex1=6ex|*ex

e2xex=6

e2xex6=0

a=ex

a2a6=0

a12=1±1+242=1±52

a1=3=ex

x=ln3

a2=2exxR

Řešením rovnice je dvojice hodnot {ln17;ln3}.

Nyní k otázkám. Množina řešení není tříprvková. Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak číslo opačné jím není. V intervalu (0;) se nachází prácě jedno řešení a to x=ln3. Není pravda, že se v intervalu (;0) nenachází žádně řešení rovnice; naopak leží v něm číslo ln17. Množina řešení rovnice je dvouprvková.

Úloha A8

Spočítáme průsečíky paraboly a přímky neboli řešíme soustavu rovnic o dvou neznámých dosazovací metodou:

2x+1=2x2+x1

2x2+3x2=0

x12=3±9+164=3±54

x1=12

y1=2*12+1=0

x2=2

y2=2*(2)+1=5

Zjistili jsme dva průsečíky [2;5] a [12;0].

Zodpovíme otázky. Ano, přímka protíná parabolu ve dvou bodech. Není pravda, že všechny x-ové souřadnice průsečíků jsou kladné. Není pravda, že všechny y-ové souřadnice průsečíků jsou kladné. Ano, y-ová souřadnice všech průsečíků je celé číslo. Za účelem zodpovězení poslední otázky upravíme rovnici paraboly:

y=2x2+x1=2(x2+12x)1=2(x+14)2181=2(x+14)298

Zjistili jsme, že minimum paraboly neboli její vrchol leží v bodě [14;98], tudíž není pravda, že leží v bodě [12;1].

Úloha A9

Nejprve odpovíme na poslední otázku. Představme si trojúhelník ABC v rovině tak, že strana AB leží "vodorovně" (rovnoběžně se spodní hranou papíru nebo webové stránky) a vrchol C leží nad ní. Dle zadání pata výšky vc, označme ji V, leží ve vzdálenosti 15 cm od vrcholu A. To ale znamená, že bod V leží "uvnitř" úsečky AB. To jednak proto, že strana BC má "jen" 10 cm, tak je příliš krátká na to, aby mohl bod V ležet vlevo od vrcholu A. A jednak proto, že vzdálenost 15 cm bodu V od vrcholu A je menší než délka 21 cm celé strany AB a proto bod V nemůže ležet vpravo od vrcholu B. Z toho nutně plyne, že oba úhly α i β jsou ostré, tedy menší než 90° (nemůžou být ani pravé). Z toho vyplývá, že úhel γ je větší než 90° a trojúhelník ABC tedy není ostroúhlý.

Délku strany b spočítáme pomocí Pythagorovy věty, nejprve spočteme velikost výšky vc:

vc2=102(2115)2=10036=64

vc=8

b2=152+82=225+64=289

b=17

Odpověď na první otázku je tedy ne, strana b nemá délku 18 cm. A u druhé otázky, ano výška vc má délku 8 cm.

Nyní spočítáme délky těžnic ta a tc, užijeme k tomu cosinovou větu. Předtím si ještě připravíme hodnotu cosinu úhlu beta:

cos(β)=610=35

(ta)2=212+522*21*5*35=25+21*(21305)=25+21*15=25+315=340

ta=340=4*85=285

(tc)2=(212)2+1022*212*10*35=100+212*(212605)=100+212*(32)=100634=3374

tc=3374=3372

Za účelem zodpovězení jedné z otázek hodnotu tc porovnáme s číslem 9:

tc=33729

3372182

33718

337>324

tc>9

Zodpovíme zbývající dvě otázky, ano těžnice ta má délku 285, ano těžnice tc je delší než 9 cm.

Úloha A10

Tady pomůže představivost a dělání si náčrtků.

Úloha B1

Zde je nejrychlejší cestou k cíli nakreslit si graf funkce. Absolutní hodnota argumentu funkce sinus udělá graf symetrický okolo y-ové osy se zachováním tvaru v kladné části osy x. Absolutní hodnota celé takto upravené funkce obrátí vše pod osou x nad ní. Výsledný graf tak tvoří sinové "obloučky" nad osou x jeden za druhým, každý s periodou π.

Můžeme tedy odpovědět na otázky. Ano funkce je sudá (symetrická okolo osy y). Není tedy lichá. Ano funkce je periodická s periodou π. Funkce není rostoucí (ani klesající). Funkce není prostá.

Úloha B2

Stanovíme podmínky řešitelnosti funkce:

sin(x)0

xR\{0}+kπ,kZ

Rovnici postupně upravujeme:

(sinx)2(cosx)2+(cosx)2(cosx)2=1sin(x)

1(cosx)2=1sin(x)

|1cosx|=1sin(x)

x{π4,34π}+k2π,kZ

Odpovíme na otázky. Není pravda, že pokud je nějaké číslo řešením rovnice, je jím i číslo k němu opačné. Není pravda, že pokud je nějaké číslo řešením rovnice, je jím i číslo o π větší. Ano, pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak je jím i číslo o 2π větší. Není pravda, že pokud je nějaké číslo řešením rovnice, je jím i číslo dvakrát větší. Ano, pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak je jím i číslo třikrát větší. Všechny odpovědi je snadné získat pohledem na jednotkovou kružnici s vyznačenými oběma řešeními v intervalu nula až 2π.

Úloha B3

Nerovnici upravíme:

x(2x)2x

(2x)(x1)0

(x2)(x1)0

Metodou nulových bodů určíme řešení x<1;2>. Nyní už můžeme zodpovědět otázky. Ano, všechna řešení nerovnice jsou nezáporná. Ne, v množině řešení nerovnice není žádné záporné číslo. Ano, všechna řešení nerovnice jsou větší než 22, protože 22<1. Ne, množina všech řešení nerovnice není podmnožinou intervalu <1;2>, protože 2<2. Ano, je pravda, že množina všech řešení nerovnice má společné prvky s intervalem <π2;38>=<π2;2>, protože uvedený interval je podmnožinou množiny všech řešení nerovnice.

Úloha B4

Vyjádříme rovnicí, co víme, a vyřešíme ji:

a3a1=a7a3

a1+6a1=a1+18a1+6

a12+12a1+36=a12+18a1

a1=6

Odpovíme na otázky: a2=9, a5=18, a7=24, a1+a10=12+9*3=39, a9a4=3015=2.

Úloha B5

Řešíme nerovnici metodou nulových bodů:

x<1

x2+2x+30

(x+1)2+20

x

Zde řešení nemáme, protože se parabola nachází nad osou x.

x1

x24x30

(x2+7)(x27)0

x<27;2+7>

Získali jsme řešení nerovnice, můžeme zodpovědět otázky. Ano, množina všech řešení nerovnice je uzavřený interval. Ano, řešením nerovnice je i číslo π, protože π<2+7. Ano, řešením nerovnice je i číslo 1π, protože 1π>27. Ano, řešením nerovnice je i číslo 27, je to počáteční bod intervalu množiny řešení. Ano, součin nejmenšího a největšího řešení nerovnice je celé číslo, protože (27)(2+7)=47=3.

Úloha B6

Půjdeme postupně po jednotlivých otázkách.

1=1+2t

t=1

y=2(1)=3

Ano, úsečka p prochází bodem [1;3].

1=1+t

t=2

Ne, úsečka q neprochází bodem [1;4], protože parametr t=2 leží mimo stanovený interval pro úsečku q.

0=1+2t

t=12

0=2t

t=2

Ne, úsečka p protíná pouze osu y nikoliv zároveň osu x.

Spočítáme průsečík úseček, pokud vůbec existuje. Za tímto účelem parametr ve vyjádření úsečky p přejmenujeme na s:

1+2s=1+t

2s=2t

__________________

5=1+5t

t=65

Ne, úsečky se neprotínají, prtože parametr t=65 připadající na případný průsečík leží mimo interval stanovený pro úsečku q.

u=(2;1)

v=(1;2)

uv=2*11*2=0

Ano, úsečky jsou na sebe kolmé, protože jsou kolmé jejich směrové vektory (jejich skalární součin je roven nule).

Úloha B7

Vyřešíme rovnici metodou nulových bodů:

x<1

ln(x)ln(x)=ln(4x3)

1=4x3

x=1

x

Zde řešení nemáme.

x1

ln(x)+ln(x)=ln(4x3)

ln(x2)=ln(4x3)

x24x+3=0

x12=4±22

x1=1

x2=3

Našli jsme tedy řešení x{1;3}, můžeme zodpovědět otázky. Ne, množina řešení rovnice nemá tři prvky. Ne, opačné číslo k řešení rovnice není řešením. Ano, v intervalu (1;) leží právě jedno řešení. Ano, v intervalu (;0) neleží žádné řešení. Ano, množina všech řešení rovnice má dva prvky.

Úloha B8

Zjistíme průsečík parabol:

3x2+x1=x23x+1

2x2+4x2=0

x2+2x1=0

x12=2±82=1±2

x1=12

x2=1+2

Odpovíme na první dvě otázky. Ano, paraboly mají dva průsečíky. Ne, x-ové souřadnice všech průsečíků nejsou kladné.

Dopočítáme y-ové souřadnice:

y1=(12)23(12)+1=1+2+22+3+32+1=7+52

y2=(1+2)23(1+2)+1=1+222+332+1=752

Zodpovíme další dvě otázky. Ne, y-ové souřadnice všech průsečíků nejsou kladná čísla (protože 7<52, 49<50). Ano, x-ové souřadnice všech průsečíků jsou iracionální čísla (protože 2 je iracionální číslo). Pro zodpovězení poslední otázky upravíme rovnici paraboly p2:

y=x23x+1=(x32)294+1=(x32)254

Ano, vrchol paraboly p2 leží v bodě [32;54].

Úloha B9

Rychle zjistíme, nejlépe z náčrtku trojúhelníku, že trojúhelník ABS je rovnoramenný (písmenem S jsem označil střed strany a), což znamená, že délka úsečky BS je stejná jako dělka těžnice ta tedy |BS|=4 cm. Z toho dále plyne, že délka strany a=2*|BS|=2*4=8 cm.

Dále vidíme, že úhel ASB má velikost 180°2*30°=120° a tím pádem úhel ASC má velikost 180°120°=60°. Vzhledem k tomu, že obě strany trojúhelníku ASB přiléhající vrcholu S mají stejnou délku, tak je trojúhelník ASC též rovnoramenný. Úhly ACS i CAS mají stenou velikost (180°60°):2=60°. Trojúhelník ASC je tak dokonce rovnostranný, což znamená, že délka strany b=|AC|=4 cm.

Trojúhelník ABC je pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu A (úhel BAS má velikost 30° a úhel CAS má velikost 60°, dohromady tedy 30°+60°=90°). Snadno tedy pomocí Pythagorovy věty spočítáme délku strany c: c=8242=48=3*16=43. Porovnáme délku strany c s číslem 7 a zjistíme, že délka strany c není delší než 7 cm, protože c2<72 (48<49).

Obsah trojúhelníku ABC je 12*43*4=83 cm2.

Úloha B10

Opět pomůže představivost a dělání si náčrtků.