21.12.2022
V tomto textu projdu zadání z matematiky u přijímaček na Matematicko-fyzikální fakultu Univerzity Karlovy z roku 2019, přičemž se pokusím relativně podrobně popsat řešení jednotlivých úloh.
Fakulta tato zadání zveřejňuje na stránkách pro uchazeče o studium. Zadání je k dispozici ve formě PDF souboru - netuším ovšem, jak je to s autorskými právy. Proto zde zadání nebudu uvádět a pouze poskytnu webový odkaz na dané PDFko: zadání pro rok 2022 je zde.
Zadání jsou ve formě testů, kdy ke každé úloze je 5 otázek, na které lze odpovědět ANO či NE. Je možné více správných odpovědí. Poskytované zadání obsahuje pouze správné odpovědi na otázky, ale už ne podrobný popis řešení. Jsou dvě varianty testů A a B - na úlohu se budu vždy odkazovat písmenem varianty a číslem úlohy - např. A1.
Řešení úloh: A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10
Nejprve určíme definiční obor funkce:
Zjistíme, zda je funkce sudá nebo lichá (nebo ani jedno):
Funkce je tedy lichá (platí ). Spočítáme první derivaci funkce:
Vidíme, že první derivace je pro všechna větší nebo rovna nule. (U druhého členu v součtu je jeho nezápornost zřejmá a u logaritmu si všimneme, že argument bude vždy větší nebo roven jedné.) Funkce je tedy rostoucí, tudíž neperiodická a prostá. (V bodě , kde je , nemá funkce minimum ani maximum, ale inflexní bod.)
Stanovíme podmínky řešitelnosti rovnice:
Budeme upravovat rovnici:
Při řešení rovnice jsme jednak vzali v úvahu rovnost , a dále podmínky řešitelnosti, kdy musí být .
Nyní k odpovědím na otázky. Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak číslo k němu opačné jím není. Toto tvrzení můžu dokázat buď tím, že v jednom případě - např. - ukážu, že opačné číslo není řešením rovnice. Anebo to dokážu pro všechna řešení. To si teď provedeme ( považujeme za parametr):
Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak číslo o větší jím není, což je zjevné ze zápisu množiny řešení. Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak číslo o větší jím je, což je též zjevné ze zápisu množiny řešení. Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak číslo dvakrát větší jím není. Stačí uvést jeden příklad, např pro je dvojnásobkem číslo , které řešením rovnice není. Podobně poslední tvrzení. Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak číslo třikrát větší jím není. Opět stačí ukázat jediný příklad, kdy to neplatí. Např. vezmu , k němuž , což není řešením rovnice.
Upravíme nerovnici:
Dále řěšíme metodou nulových bodů, kdy zjistíme, že kvadratický trojčlen je menší nebo roven nule v intervalu . Řešením nerovnice jsou tedy všechna .
Nyní můžeme zodpovědět otázky k úloze. Množina všech řešení obsahuje pouze kladná čísla, tudíž nejsou záporná. Není pravda, že všechna řešení jsou větší než , protože např. . Je pravda, že množina všech řešení nerovnice je obsažena v intervalu , protože a zároveň . Interval je obsažen v množině řešení, tudíž není pravda, že tyto dvě množiny nemají žádný společný prvek.
Užijeme vztah pro součet prvních prvků aritmetické posloupnosti:
Máme soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, prvním členu posloupnosti a diferenci . Řešíme:
____________________
Můžeme odpovědět na otázky. , . . . .
Stanovíme podmínky řešitelnosti nerovnice:
Nerovnici upravíme a řešíme metodou nulových bodů:
Nulové body jsou , a řešením nerovnice je interval .
Nyní můžeme odpovědět na otázky. Ano, řešením rovnice je polouzavřený interval. Ne, řešením rovnice není číslo . Ano, řešením rovnice je číslo . Ne, řešením rovnice není číslo .
Přímka protíná osu v bodě, jehož -ová souřadnice je nulová, spočítáme:
Přímka protíná osu v bodě, jehož -ová souřadnice je nulová, spočítáme:
Ověříme zda přímka prochází bodem a zároveň zda přímka prochází bodem :
Tudíž v prvním případě je tvrzení pravdivé, ve druhém nikoliv.
Pokud mají být přímky a na sebe kolmé, pak musejí být kolmé též jejich směrové vektory. To zjistíme prostřednictvím jejich skalárního součinu. Pokud bude roven nule, jsou kolmé:
Ano přímky jsou na sebe kolmé.
Rovnice je řešitelná pro všechna . Řešíme metodou nulových bodů ():
Řešením rovnice je dvojice hodnot .
Nyní k otázkám. Množina řešení není tříprvková. Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak číslo opačné jím není. V intervalu se nachází prácě jedno řešení a to . Není pravda, že se v intervalu nenachází žádně řešení rovnice; naopak leží v něm číslo . Množina řešení rovnice je dvouprvková.
Spočítáme průsečíky paraboly a přímky neboli řešíme soustavu rovnic o dvou neznámých dosazovací metodou:
Zjistili jsme dva průsečíky a .
Zodpovíme otázky. Ano, přímka protíná parabolu ve dvou bodech. Není pravda, že všechny -ové souřadnice průsečíků jsou kladné. Není pravda, že všechny -ové souřadnice průsečíků jsou kladné. Ano, -ová souřadnice všech průsečíků je celé číslo. Za účelem zodpovězení poslední otázky upravíme rovnici paraboly:
Zjistili jsme, že minimum paraboly neboli její vrchol leží v bodě , tudíž není pravda, že leží v bodě .
Nejprve odpovíme na poslední otázku. Představme si trojúhelník v rovině tak, že strana leží "vodorovně" (rovnoběžně se spodní hranou papíru nebo webové stránky) a vrchol leží nad ní. Dle zadání pata výšky , označme ji , leží ve vzdálenosti cm od vrcholu . To ale znamená, že bod leží "uvnitř" úsečky . To jednak proto, že strana má "jen" cm, tak je příliš krátká na to, aby mohl bod ležet vlevo od vrcholu . A jednak proto, že vzdálenost cm bodu od vrcholu je menší než délka cm celé strany a proto bod nemůže ležet vpravo od vrcholu . Z toho nutně plyne, že oba úhly i jsou ostré, tedy menší než (nemůžou být ani pravé). Z toho vyplývá, že úhel je větší než a trojúhelník tedy není ostroúhlý.
Délku strany spočítáme pomocí Pythagorovy věty, nejprve spočteme velikost výšky :
Odpověď na první otázku je tedy ne, strana nemá délku cm. A u druhé otázky, ano výška má délku cm.
Nyní spočítáme délky těžnic a , užijeme k tomu cosinovou větu. Předtím si ještě připravíme hodnotu cosinu úhlu beta:
Za účelem zodpovězení jedné z otázek hodnotu porovnáme s číslem :
Zodpovíme zbývající dvě otázky, ano těžnice má délku , ano těžnice je delší než cm.
Tady pomůže představivost a dělání si náčrtků.
Zde je nejrychlejší cestou k cíli nakreslit si graf funkce. Absolutní hodnota argumentu funkce sinus udělá graf symetrický okolo -ové osy se zachováním tvaru v kladné části osy . Absolutní hodnota celé takto upravené funkce obrátí vše pod osou nad ní. Výsledný graf tak tvoří sinové "obloučky" nad osou jeden za druhým, každý s periodou .
Můžeme tedy odpovědět na otázky. Ano funkce je sudá (symetrická okolo osy ). Není tedy lichá. Ano funkce je periodická s periodou . Funkce není rostoucí (ani klesající). Funkce není prostá.
Stanovíme podmínky řešitelnosti funkce:
Rovnici postupně upravujeme:
Odpovíme na otázky. Není pravda, že pokud je nějaké číslo řešením rovnice, je jím i číslo k němu opačné. Není pravda, že pokud je nějaké číslo řešením rovnice, je jím i číslo o větší. Ano, pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak je jím i číslo o větší. Není pravda, že pokud je nějaké číslo řešením rovnice, je jím i číslo dvakrát větší. Ano, pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak je jím i číslo třikrát větší. Všechny odpovědi je snadné získat pohledem na jednotkovou kružnici s vyznačenými oběma řešeními v intervalu nula až .
Nerovnici upravíme:
Metodou nulových bodů určíme řešení . Nyní už můžeme zodpovědět otázky. Ano, všechna řešení nerovnice jsou nezáporná. Ne, v množině řešení nerovnice není žádné záporné číslo. Ano, všechna řešení nerovnice jsou větší než , protože . Ne, množina všech řešení nerovnice není podmnožinou intervalu , protože . Ano, je pravda, že množina všech řešení nerovnice má společné prvky s intervalem , protože uvedený interval je podmnožinou množiny všech řešení nerovnice.
Vyjádříme rovnicí, co víme, a vyřešíme ji:
Odpovíme na otázky: , , , ,
Řešíme nerovnici metodou nulových bodů:
Zde řešení nemáme, protože se parabola nachází nad osou .
Získali jsme řešení nerovnice, můžeme zodpovědět otázky. Ano, množina všech řešení nerovnice je uzavřený interval. Ano, řešením nerovnice je i číslo , protože . Ano, řešením nerovnice je i číslo , protože . Ano, řešením nerovnice je i číslo , je to počáteční bod intervalu množiny řešení. Ano, součin nejmenšího a největšího řešení nerovnice je celé číslo, protože .
Půjdeme postupně po jednotlivých otázkách.
Ano, úsečka prochází bodem .
Ne, úsečka neprochází bodem , protože parametr leží mimo stanovený interval pro úsečku .
Ne, úsečka protíná pouze osu nikoliv zároveň osu .
Spočítáme průsečík úseček, pokud vůbec existuje. Za tímto účelem parametr ve vyjádření úsečky přejmenujeme na :
__________________
Ne, úsečky se neprotínají, prtože parametr připadající na případný průsečík leží mimo interval stanovený pro úsečku .
Ano, úsečky jsou na sebe kolmé, protože jsou kolmé jejich směrové vektory (jejich skalární součin je roven nule).
Vyřešíme rovnici metodou nulových bodů:
Zde řešení nemáme.
Našli jsme tedy řešení , můžeme zodpovědět otázky. Ne, množina řešení rovnice nemá tři prvky. Ne, opačné číslo k řešení rovnice není řešením. Ano, v intervalu leží právě jedno řešení. Ano, v intervalu neleží žádné řešení. Ano, množina všech řešení rovnice má dva prvky.
Zjistíme průsečík parabol:
Odpovíme na první dvě otázky. Ano, paraboly mají dva průsečíky. Ne, -ové souřadnice všech průsečíků nejsou kladné.
Dopočítáme -ové souřadnice:
Zodpovíme další dvě otázky. Ne, -ové souřadnice všech průsečíků nejsou kladná čísla (protože , ). Ano, -ové souřadnice všech průsečíků jsou iracionální čísla (protože je iracionální číslo). Pro zodpovězení poslední otázky upravíme rovnici paraboly :
Ano, vrchol paraboly leží v bodě .
Rychle zjistíme, nejlépe z náčrtku trojúhelníku, že trojúhelník je rovnoramenný (písmenem jsem označil střed strany ), což znamená, že délka úsečky je stejná jako dělka těžnice tedy cm. Z toho dále plyne, že délka strany cm.
Dále vidíme, že úhel má velikost a tím pádem úhel má velikost . Vzhledem k tomu, že obě strany trojúhelníku přiléhající vrcholu mají stejnou délku, tak je trojúhelník též rovnoramenný. Úhly i mají stenou velikost . Trojúhelník je tak dokonce rovnostranný, což znamená, že délka strany cm.
Trojúhelník je pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu (úhel má velikost a úhel má velikost , dohromady tedy ). Snadno tedy pomocí Pythagorovy věty spočítáme délku strany : . Porovnáme délku strany s číslem a zjistíme, že délka strany není delší než cm, protože ().
Obsah trojúhelníku je cm.
Opět pomůže představivost a dělání si náčrtků.