veiner.eu
ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTIÚLOHYPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA VŠMATURITNÍ ZKOUŠKAPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA SŠNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLADOUČOVÁNÍPřidat úlohu

Přijímací zkouška z matematiky na VŠ - rok 2022

21.12.2022

V tomto textu projdu zadání z matematiky u přijímaček na Matematicko-fyzikální fakultu Univerzity Karlovy z roku 2019, přičemž se pokusím relativně podrobně popsat řešení jednotlivých úloh.

Fakulta tato zadání zveřejňuje na stránkách pro uchazeče o studium. Zadání je k dispozici ve formě PDF souboru - netuším ovšem, jak je to s autorskými právy. Proto zde zadání nebudu uvádět a pouze poskytnu webový odkaz na dané PDFko: zadání pro rok 2022 je zde.

Zadání jsou ve formě testů, kdy ke každé úloze je 5 otázek, na které lze odpovědět ANO či NE. Je možné více správných odpovědí. Poskytované zadání obsahuje pouze správné odpovědi na otázky, ale už ne podrobný popis řešení. Jsou dvě varianty testů A a B - na úlohu se budu vždy odkazovat písmenem varianty a číslem úlohy - např. A1.

Řešení úloh: A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10

Úloha A1

Nejprve určíme definiční obor funkce:

$$x^2+1>0$$

$$x∈R$$

Zjistíme, zda je funkce sudá nebo lichá (nebo ani jedno):

$$f(-x)=(-x)*ln({(-x)}^2+1)=-x*ln(x^2+1)=-f(x)$$

Funkce je tedy lichá (platí $f(-x)=-f(x)$). Spočítáme první derivaci funkce:

$$f'(x)=ln(x^2+1)+{2x^2}/{x^2+1}≥0$$

Vidíme, že první derivace je pro všechna $x∈R$ větší nebo rovna nule. (U druhého členu v součtu je jeho nezápornost zřejmá a u logaritmu si všimneme, že argument bude vždy větší nebo roven jedné.) Funkce je tedy rostoucí, tudíž neperiodická a prostá. (V bodě $x=0$, kde je $f(0)=f'(0)=0$, nemá funkce minimum ani maximum, ale inflexní bod.)

Úloha A2

Stanovíme podmínky řešitelnosti rovnice:

$$sin(x)>0$$

$$x∈\{(0;π)+k*2π\}, k∈Z$$

Budeme upravovat rovnici:

$$ln(e^{ln({(sin(x))}^4)})=ln({(sin|x|)}^2)$$

$$ln({(sin(x))}^4)=ln({(sin|x|)}^2)$$

$${(sin(x))}^4={(sin|x|)}^2$$

$${(sin(x))}^2*({(sin(x))}^2-1)=0$$

$${(sin(x))}^2=1$$

$$sin(x)=±1$$

$$x∈\{π/2+k*2π\}, k∈Z$$

Při řešení rovnice jsme jednak vzali v úvahu rovnost ${(sin|x|)}^2={(sin(x))}^2$, a dále podmínky řešitelnosti, kdy musí být $sin(x)>0$.

Nyní k odpovědím na otázky. Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak číslo k němu opačné jím není. Toto tvrzení můžu dokázat buď tím, že v jednom případě - např. $x=π/2$ - ukážu, že opačné číslo $-π/2$ není řešením rovnice. Anebo to dokážu pro všechna řešení. To si teď provedeme ($k∈Z$ považujeme za parametr):

$$-x=-π/2-k*2π=π/2-π-k*2π=π/2+2π*(-k-1/2)$$

$$(-k-1/2)∉Z$$

Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak číslo o $π$ větší jím není, což je zjevné ze zápisu množiny řešení. Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak číslo o $2π$ větší jím je, což je též zjevné ze zápisu množiny řešení. Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak číslo dvakrát větší jím není. Stačí uvést jeden příklad, např pro $x=π/2$ je dvojnásobkem číslo $2x=π$, které řešením rovnice není. Podobně poslední tvrzení. Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak číslo třikrát větší jím není. Opět stačí ukázat jediný příklad, kdy to neplatí. Např. vezmu $x=π/2$, k němuž $3x=3/2π$, což není řešením rovnice.

Úloha A3

Upravíme nerovnici:

$$x^2-4x+3≤0$$

$$(x-1)(x-3)≤0$$

Dále řěšíme metodou nulových bodů, kdy zjistíme, že kvadratický trojčlen je menší nebo roven nule v intervalu $<1;3>$. Řešením nerovnice jsou tedy všechna $x∈<1;3>$.

Nyní můžeme zodpovědět otázky k úloze. Množina všech řešení obsahuje pouze kladná čísla, tudíž nejsou záporná. Není pravda, že všechna řešení jsou větší než $√2$, protože např. $1<√2$. Je pravda, že množina všech řešení nerovnice je obsažena v intervalu $<{√8}/3;22/7>$, protože ${√8}/3={2√2}/3<3/3=1$ a zároveň $22/7>3$. Interval $<1;√3>$ je obsažen v množině řešení, tudíž není pravda, že tyto dvě množiny nemají žádný společný prvek.

Úloha A4

Užijeme vztah pro součet prvních $n$ prvků aritmetické posloupnosti:

$$s_{10}=210=10/2(a_1+a_{10})=5(a_1+a_1+9d)=10a_1+45d$$

$$s_{11->20}=610=10/2(a_{11}+a_{20})=5(a_1+10d+a_1+19d)=10a_1+145d$$

Máme soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, prvním členu posloupnosti $a_1$ a diferenci $d$. Řešíme:

$$210=10a_1+45d$$

$$610=10a_1+145d$$

____________________

$$400=100d$$

$$d=400/100=4$$

$$a_1={210-45*4}/10=3$$

Můžeme odpovědět na otázky. $d=4$, $a_1=3$. $a_{11}=3+10*4=43$. $a_{20}=3+19*4=79$. $s_{8->13}=6/2(3+7*4+3+12*4)=3*82=246$.

Úloha A5

Stanovíme podmínky řešitelnosti nerovnice:

$$x+1≠0$$

$$x≠-1$$

Nerovnici upravíme a řešíme metodou nulových bodů:

$${|x+3|}/{x+1}-2≥0$$

$${|x+3|-2x-2}/{x+1}≥0$$

Nulové body jsou $x0_1=-1$, $x0_2=1$ a řešením nerovnice je interval $(-1;1>$.

Nyní můžeme odpovědět na otázky. Ano, řešením rovnice je polouzavřený interval. Ne, řešením rovnice není číslo $√2$. Ano, řešením rovnice je číslo $1/π$. Ne, řešením rovnice není číslo $-√5$.

Úloha A6

Přímka $p$ protíná osu $x$ v bodě, jehož $y$-ová souřadnice je nulová, spočítáme:

$$y=0=2-3t$$

$$t=2/3$$

$$x=1+2*2/3=7/3$$

Přímka $q$ protíná osu $y$ v bodě, jehož $x$-ová souřadnice je nulová, spočítáme:

$$x=0=-2+6t$$

$$t=1/3$$

$$y=5+4*1/3=19/3$$

Ověříme zda přímka $p$ prochází bodem $[5;-4]$ a zároveň zda přímka $q$ prochází bodem $[6;4]$:

$$x=5=1+2t$$

$$t=2$$

$$y=2-3*2=-4$$

$$x=6=-2+6t$$

$$t=4/3$$

$$y=5+4*4/3=31/3≠4$$

Tudíž v prvním případě je tvrzení pravdivé, ve druhém nikoliv.

Pokud mají být přímky $p$ a $q$ na sebe kolmé, pak musejí být kolmé též jejich směrové vektory. To zjistíme prostřednictvím jejich skalárního součinu. Pokud bude roven nule, jsou kolmé:

$$u↖{→}=(2;-3)$$

$$v↖{→}=(6;4)$$

$$u↖{→}⋅v↖{→}=2*6-3*4=0$$

Ano přímky jsou na sebe kolmé.

Úloha A7

Rovnice je řešitelná pro všechna $x∈R$. Řešíme metodou nulových bodů ($x_0=0$):

$$x<0$$

$$-e^x+1=6e^x$$

$$e^x=1/7$$

$$x=ln(1/7)$$

$$x≥0$$

$$e^x-1=6e^{-x} | *e^x$$

$$e^2x-e^x=6$$

$$e^2x-e^x-6=0$$

$$a=e^x$$

$$a^2-a-6=0$$

$$a_{12}={1±√{1+24}}/2={1±5}/2$$

$$a_1=3=e^x$$

$$x=ln3$$

$$a_2=-2≠e^x x∈R$$

Řešením rovnice je dvojice hodnot $\{ln{1/7};ln3\}$.

Nyní k otázkám. Množina řešení není tříprvková. Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak číslo opačné jím není. V intervalu $(0;∞)$ se nachází prácě jedno řešení a to $x=ln3$. Není pravda, že se v intervalu $(-∞;0)$ nenachází žádně řešení rovnice; naopak leží v něm číslo $ln{1/7}$. Množina řešení rovnice je dvouprvková.

Úloha A8

Spočítáme průsečíky paraboly a přímky neboli řešíme soustavu rovnic o dvou neznámých dosazovací metodou:

$$-2x+1=2x^2+x-1$$

$$2x^2+3x-2=0$$

$$x_12={-3±√{9+16}}/4={-3±5}/4$$

$$x_1=1/2$$

$$y_1=-2*1/2+1=0$$

$$x_2=-2$$

$$y_2=-2*(-2)+1=5$$

Zjistili jsme dva průsečíky $[-2;5]$ a $[1/2;0]$.

Zodpovíme otázky. Ano, přímka protíná parabolu ve dvou bodech. Není pravda, že všechny $x$-ové souřadnice průsečíků jsou kladné. Není pravda, že všechny $y$-ové souřadnice průsečíků jsou kladné. Ano, $y$-ová souřadnice všech průsečíků je celé číslo. Za účelem zodpovězení poslední otázky upravíme rovnici paraboly:

$$y=2x^2+x-1=2(x^2+1/2x)-1=2{(x+1/4)}^2-1/8-1=2{(x+1/4)}^2-9/8$$

Zjistili jsme, že minimum paraboly neboli její vrchol leží v bodě $[-1/4;-9/8]$, tudíž není pravda, že leží v bodě $[-1/2;-1]$.

Úloha A9

Nejprve odpovíme na poslední otázku. Představme si trojúhelník $ABC$ v rovině tak, že strana $AB$ leží "vodorovně" (rovnoběžně se spodní hranou papíru nebo webové stránky) a vrchol $C$ leží nad ní. Dle zadání pata výšky $v_c$, označme ji $V$, leží ve vzdálenosti $15$ cm od vrcholu $A$. To ale znamená, že bod $V$ leží "uvnitř" úsečky $AB$. To jednak proto, že strana $BC$ má "jen" $10$ cm, tak je příliš krátká na to, aby mohl bod $V$ ležet vlevo od vrcholu $A$. A jednak proto, že vzdálenost $15$ cm bodu $V$ od vrcholu $A$ je menší než délka $21$ cm celé strany $AB$ a proto bod $V$ nemůže ležet vpravo od vrcholu $B$. Z toho nutně plyne, že oba úhly $α$ i $β$ jsou ostré, tedy menší než $90°$ (nemůžou být ani pravé). Z toho vyplývá, že úhel $γ$ je větší než $90°$ a trojúhelník $ABC$ tedy není ostroúhlý.

Délku strany $b$ spočítáme pomocí Pythagorovy věty, nejprve spočteme velikost výšky $v_c$:

$${v_c}^2=10^2-{(21-15)}^2=100-36=64$$

$$v_c=8$$

$$b^2=15^2+8^2=225+64=289$$

$$b=17$$

Odpověď na první otázku je tedy ne, strana $b$ nemá délku $18$ cm. A u druhé otázky, ano výška $v_c$ má délku $8$ cm.

Nyní spočítáme délky těžnic $t_a$ a $t_c$, užijeme k tomu cosinovou větu. Předtím si ještě připravíme hodnotu cosinu úhlu beta:

$$cos(β)=6/10=3/5$$

$${(t_a)}^2=21^2+5^2-2*21*5*{3/5}=25+21*(21-30/5)=25+21*15=25+315=340$$

$$t_a=√{340}={√{4*85}}=2√85$$

$${(t_c)}^2={(21/2)}^2+10^2-2*{21/2}*10*{3/5}=100+{21/2}*({21/2}-60/5)=100+{21/2}*(-{3/2})=100-63/4=337/4$$

$$t_c=√{337/4}={√{337}}/2$$

Za účelem zodpovězení jedné z otázek hodnotu $t_c$ porovnáme s číslem $9$:

$$t_c={√{337}}/2≟9$$

$${√{337}}/2≟18/2$$

$$√{337}≟18$$

$$337>324$$

$$t_c>9$$

Zodpovíme zbývající dvě otázky, ano těžnice $t_a$ má délku $2√85$, ano těžnice $t_c$ je delší než $9$ cm.

Úloha A10

Tady pomůže představivost a dělání si náčrtků.

Úloha B1

Zde je nejrychlejší cestou k cíli nakreslit si graf funkce. Absolutní hodnota argumentu funkce sinus udělá graf symetrický okolo $y$-ové osy se zachováním tvaru v kladné části osy $x$. Absolutní hodnota celé takto upravené funkce obrátí vše pod osou $x$ nad ní. Výsledný graf tak tvoří sinové "obloučky" nad osou $x$ jeden za druhým, každý s periodou $π$.

Můžeme tedy odpovědět na otázky. Ano funkce je sudá (symetrická okolo osy $y$). Není tedy lichá. Ano funkce je periodická s periodou $π$. Funkce není rostoucí (ani klesající). Funkce není prostá.

Úloha B2

Stanovíme podmínky řešitelnosti funkce:

$$sin(x)≠0$$

$$x∈R\\\{0\}+kπ, k∈Z$$

Rovnici postupně upravujeme:

$$√{{(sinx)}^2/{(cosx)}^2+{(cosx)}^2/{(cosx)}^2}=1/{sin(x)}$$

$$√{1/{(cosx)}^2}=1/{sin(x)}$$

$$|{1/{cosx}}|=1/{sin(x)}$$

$$x∈\{π/4,3/4π\}+k2π, k∈Z$$

Odpovíme na otázky. Není pravda, že pokud je nějaké číslo řešením rovnice, je jím i číslo k němu opačné. Není pravda, že pokud je nějaké číslo řešením rovnice, je jím i číslo o $π$ větší. Ano, pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak je jím i číslo o $2π$ větší. Není pravda, že pokud je nějaké číslo řešením rovnice, je jím i číslo dvakrát větší. Ano, pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak je jím i číslo třikrát větší. Všechny odpovědi je snadné získat pohledem na jednotkovou kružnici s vyznačenými oběma řešeními v intervalu nula až $2π$.

Úloha B3

Nerovnici upravíme:

$$x(2-x)≥2-x$$

$$(2-x)(x-1)≥0$$

$$(x-2)(x-1)≤0$$

Metodou nulových bodů určíme řešení $x∈<1;2>$. Nyní už můžeme zodpovědět otázky. Ano, všechna řešení nerovnice jsou nezáporná. Ne, v množině řešení nerovnice není žádné záporné číslo. Ano, všechna řešení nerovnice jsou větší než ${√2}/2$, protože ${√2}/2<1$. Ne, množina všech řešení nerovnice není podmnožinou intervalu $<-1;√2>$, protože $√2<2$. Ano, je pravda, že množina všech řešení nerovnice má společné prvky s intervalem $<π/2{;}^3√8>=<π/2;2>$, protože uvedený interval je podmnožinou množiny všech řešení nerovnice.

Úloha B4

Vyjádříme rovnicí, co víme, a vyřešíme ji:

$$a_3/a_1=a_7/a_3$$

$${a_1+6}/a_1={a_1+18}/{a_1+6}$$

$${a_1}^2+12a_1+36={a_1}^2+18a_1$$

$$a_1=6$$

Odpovíme na otázky: $a_2=9$, $a_5=18$, $a_7=24$, $a_1+a_{10}=12+9*3=39$, $a_9/a_4=30/15=2.$

Úloha B5

Řešíme nerovnici metodou nulových bodů:

$$x<-1$$

$$x^2+2x+3≤0$$

$${(x+1)}^2+2≤0$$

$$x∈∅$$

Zde řešení nemáme, protože se parabola nachází nad osou $x$.

$$x≥-1$$

$$x^2-4x-3≤0$$

$$(x-2+√7)(x-2-√7)≤0$$

$$x∈<2-√7;2+√7>$$

Získali jsme řešení nerovnice, můžeme zodpovědět otázky. Ano, množina všech řešení nerovnice je uzavřený interval. Ano, řešením nerovnice je i číslo $π$, protože $π<2+√7$. Ano, řešením nerovnice je i číslo $-1/π$, protože $-1/π>2-√7$. Ano, řešením nerovnice je i číslo $2-√7$, je to počáteční bod intervalu množiny řešení. Ano, součin nejmenšího a největšího řešení nerovnice je celé číslo, protože $(2-√7)(2+√7)=4-7=-3$.

Úloha B6

Půjdeme postupně po jednotlivých otázkách.

$$-1=1+2t$$

$$t=-1$$

$$y=2-(-1)=3$$

Ano, úsečka $p$ prochází bodem $[-1;3]$.

$$1=-1+t$$

$$t=2$$

Ne, úsečka $q$ neprochází bodem $[1;4]$, protože parametr $t=2$ leží mimo stanovený interval pro úsečku $q$.

$$0=1+2t$$

$$t=-1/2$$

$$0=2-t$$

$$t=2$$

Ne, úsečka $p$ protíná pouze osu $y$ nikoliv zároveň osu $x$.

Spočítáme průsečík úseček, pokud vůbec existuje. Za tímto účelem parametr ve vyjádření úsečky $p$ přejmenujeme na $s$:

$$1+2s=-1+t$$

$$2-s=2t$$

__________________

$$5=-1+5t$$

$$t=6/5$$

Ne, úsečky se neprotínají, prtože parametr $t=6/5$ připadající na případný průsečík leží mimo interval stanovený pro úsečku $q$.

$$u↖{→}=(2;-1)$$

$$v↖{→}=(1;2)$$

$$u↖{→}⋅v↖{→}=2*1-1*2=0$$

Ano, úsečky jsou na sebe kolmé, protože jsou kolmé jejich směrové vektory (jejich skalární součin je roven nule).

Úloha B7

Vyřešíme rovnici metodou nulových bodů:

$$x<1$$

$$ln(x)-ln(x)=ln(4x-3)$$

$$1=4x-3$$

$$x=1$$

$$x∈∅$$

Zde řešení nemáme.

$$x≥1$$

$$ln(x)+ln(x)=ln(4x-3)$$

$$ln(x^2)=ln(4x-3)$$

$$x^2-4x+3=0$$

$$x_{12}={4±2}/2$$

$$x_1=1$$

$$x_2=3$$

Našli jsme tedy řešení $x∈\{1;3\}$, můžeme zodpovědět otázky. Ne, množina řešení rovnice nemá tři prvky. Ne, opačné číslo k řešení rovnice není řešením. Ano, v intervalu $(1;∞)$ leží právě jedno řešení. Ano, v intervalu $(-∞;0)$ neleží žádné řešení. Ano, množina všech řešení rovnice má dva prvky.

Úloha B8

Zjistíme průsečík parabol:

$$3x^2+x-1=x^2-3x+1$$

$$2x^2+4x-2=0$$

$$x^2+2x-1=0$$

$$x_{12}={-2±√8}/2=-1±√2$$

$$x_1=-1-√2$$

$$x_2=-1+√2$$

Odpovíme na první dvě otázky. Ano, paraboly mají dva průsečíky. Ne, $x$-ové souřadnice všech průsečíků nejsou kladné.

Dopočítáme $y$-ové souřadnice:

$$y_1={(-1-√2)}^2-3(-1-√2)+1=1+2+2√2+3+3√2+1=7+5√2$$

$$y_2={(-1+√2)}^2-3(-1+√2)+1=1+2-2√2+3-3√2+1=7-5√2$$

Zodpovíme další dvě otázky. Ne, $y$-ové souřadnice všech průsečíků nejsou kladná čísla (protože $7<5√2$, $49<50$). Ano, $x$-ové souřadnice všech průsečíků jsou iracionální čísla (protože $√2$ je iracionální číslo). Pro zodpovězení poslední otázky upravíme rovnici paraboly $p_2$:

$$y=x^2-3x+1={(x-3/2)}^2-9/4+1={(x-3/2)}^2-5/4$$

Ano, vrchol paraboly $p_2$ leží v bodě $[3/2;-5/4]$.

Úloha B9

Rychle zjistíme, nejlépe z náčrtku trojúhelníku, že trojúhelník $ABS$ je rovnoramenný (písmenem $S$ jsem označil střed strany $a$), což znamená, že délka úsečky $BS$ je stejná jako dělka těžnice $t_a$ tedy $|BS|=4$ cm. Z toho dále plyne, že délka strany $a=2*|BS|=2*4=8$ cm.

Dále vidíme, že úhel $ASB$ má velikost $180°-2*30°=120°$ a tím pádem úhel $ASC$ má velikost $180°-120°=60°$. Vzhledem k tomu, že obě strany trojúhelníku $ASB$ přiléhající vrcholu $S$ mají stejnou délku, tak je trojúhelník $ASC$ též rovnoramenný. Úhly $ACS$ i $CAS$ mají stenou velikost $(180°-60°):2=60°$. Trojúhelník $ASC$ je tak dokonce rovnostranný, což znamená, že délka strany $b=|AC|=4$ cm.

Trojúhelník $ABC$ je pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu $A$ (úhel $BAS$ má velikost $30°$ a úhel $CAS$ má velikost $60°$, dohromady tedy $30°+60°=90°$). Snadno tedy pomocí Pythagorovy věty spočítáme délku strany $c$: $c=√{8^2-4^2}=√{48}=√{3*16}=4√{3}$. Porovnáme délku strany $c$ s číslem $7$ a zjistíme, že délka strany $c$ není delší než $7$ cm, protože $c^2<7^2$ ($48<49$).

Obsah trojúhelníku $ABC$ je $1/2*4√{3}*4=8√{3}$ cm$^2$.

Úloha B10

Opět pomůže představivost a dělání si náčrtků.