ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTIÚLOHYPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA VŠMATURITNÍ ZKOUŠKAPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA SŠNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLADOUČOVÁNÍPřidat úlohu
Přijímací zkouška z matematiky na VŠ - rok 2022
21.12.2022
V tomto textu projdu zadání z matematiky u přijímaček na Matematicko-fyzikální fakultu Univerzity Karlovy z roku 2019, přičemž se pokusím relativně podrobně popsat řešení jednotlivých úloh.
Fakulta tato zadání zveřejňuje na stránkách pro uchazeče o studium. Zadání je k dispozici ve formě PDF souboru - netuším ovšem, jak je to s autorskými právy. Proto zde zadání nebudu uvádět a pouze poskytnu webový odkaz na dané PDFko: zadání pro rok 2022 je zde.
Zadání jsou ve formě testů, kdy ke každé úloze je 5 otázek, na které lze odpovědět ANO či NE. Je možné více správných odpovědí. Poskytované zadání obsahuje pouze správné odpovědi na otázky, ale už ne podrobný popis řešení. Jsou dvě varianty testů A a B - na úlohu se budu vždy odkazovat písmenem varianty a číslem úlohy - např. A1.
Řešení úloh: A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10
Úloha A1
Nejprve určíme definiční obor funkce:
$$x^2+1>0$$
$$x∈R$$
Zjistíme, zda je funkce sudá nebo lichá (nebo ani jedno):
$$f(-x)=(-x)*ln({(-x)}^2+1)=-x*ln(x^2+1)=-f(x)$$
Funkce je tedy lichá (platí $f(-x)=-f(x)$). Spočítáme první derivaci funkce:
$$f'(x)=ln(x^2+1)+{2x^2}/{x^2+1}≥0$$
Vidíme, že první derivace je pro všechna $x∈R$ větší nebo rovna nule. (U druhého členu v součtu je jeho nezápornost zřejmá a u logaritmu si všimneme, že argument bude vždy větší nebo roven jedné.) Funkce je tedy rostoucí, tudíž neperiodická a prostá. (V bodě $x=0$, kde je $f(0)=f'(0)=0$, nemá funkce minimum ani maximum, ale inflexní bod.)
Úloha A2
Stanovíme podmínky řešitelnosti rovnice:
$$sin(x)>0$$
$$x∈\{(0;π)+k*2π\}, k∈Z$$
Budeme upravovat rovnici:
$$ln(e^{ln({(sin(x))}^4)})=ln({(sin|x|)}^2)$$
$$ln({(sin(x))}^4)=ln({(sin|x|)}^2)$$
$${(sin(x))}^4={(sin|x|)}^2$$
$${(sin(x))}^2*({(sin(x))}^2-1)=0$$
$${(sin(x))}^2=1$$
$$sin(x)=±1$$
$$x∈\{π/2+k*2π\}, k∈Z$$
Při řešení rovnice jsme jednak vzali v úvahu rovnost ${(sin|x|)}^2={(sin(x))}^2$, a dále podmínky řešitelnosti, kdy musí být $sin(x)>0$.
Nyní k odpovědím na otázky. Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak číslo k němu opačné jím není. Toto tvrzení můžu dokázat buď tím, že v jednom případě - např. $x=π/2$ - ukážu, že opačné číslo $-π/2$ není řešením rovnice. Anebo to dokážu pro všechna řešení. To si teď provedeme ($k∈Z$ považujeme za parametr):
$$-x=-π/2-k*2π=π/2-π-k*2π=π/2+2π*(-k-1/2)$$
$$(-k-1/2)∉Z$$
Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak číslo o $π$ větší jím není, což je zjevné ze zápisu množiny řešení. Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak číslo o $2π$ větší jím je, což je též zjevné ze zápisu množiny řešení. Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak číslo dvakrát větší jím není. Stačí uvést jeden příklad, např pro $x=π/2$ je dvojnásobkem číslo $2x=π$, které řešením rovnice není. Podobně poslední tvrzení. Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak číslo třikrát větší jím není. Opět stačí ukázat jediný příklad, kdy to neplatí. Např. vezmu $x=π/2$, k němuž $3x=3/2π$, což není řešením rovnice.
Úloha A3
Upravíme nerovnici:
$$x^2-4x+3≤0$$
$$(x-1)(x-3)≤0$$
Dále řěšíme metodou nulových bodů, kdy zjistíme, že kvadratický trojčlen je menší nebo roven nule v intervalu $<1;3>$. Řešením nerovnice jsou tedy všechna $x∈<1;3>$.
Nyní můžeme zodpovědět otázky k úloze. Množina všech řešení obsahuje pouze kladná čísla, tudíž nejsou záporná. Není pravda, že všechna řešení jsou větší než $√2$, protože např. $1<√2$. Je pravda, že množina všech řešení nerovnice je obsažena v intervalu $<{√8}/3;22/7>$, protože ${√8}/3={2√2}/3<3/3=1$ a zároveň $22/7>3$. Interval $<1;√3>$ je obsažen v množině řešení, tudíž není pravda, že tyto dvě množiny nemají žádný společný prvek.
Úloha A4
Užijeme vztah pro součet prvních $n$ prvků aritmetické posloupnosti:
$$s_{10}=210=10/2(a_1+a_{10})=5(a_1+a_1+9d)=10a_1+45d$$
$$s_{11->20}=610=10/2(a_{11}+a_{20})=5(a_1+10d+a_1+19d)=10a_1+145d$$
Máme soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, prvním členu posloupnosti $a_1$ a diferenci $d$. Řešíme:
$$210=10a_1+45d$$
$$610=10a_1+145d$$
____________________
$$400=100d$$
$$d=400/100=4$$
$$a_1={210-45*4}/10=3$$
Můžeme odpovědět na otázky. $d=4$, $a_1=3$. $a_{11}=3+10*4=43$. $a_{20}=3+19*4=79$. $s_{8->13}=6/2(3+7*4+3+12*4)=3*82=246$.
Úloha A5
Stanovíme podmínky řešitelnosti nerovnice:
$$x+1≠0$$
$$x≠-1$$
Nerovnici upravíme a řešíme metodou nulových bodů:
$${|x+3|}/{x+1}-2≥0$$
$${|x+3|-2x-2}/{x+1}≥0$$
Nulové body jsou $x0_1=-1$, $x0_2=1$ a řešením nerovnice je interval $(-1;1>$.
Nyní můžeme odpovědět na otázky. Ano, řešením rovnice je polouzavřený interval. Ne, řešením rovnice není číslo $√2$. Ano, řešením rovnice je číslo $1/π$. Ne, řešením rovnice není číslo $-√5$.
Úloha A6
Přímka $p$ protíná osu $x$ v bodě, jehož $y$-ová souřadnice je nulová, spočítáme:
$$y=0=2-3t$$
$$t=2/3$$
$$x=1+2*2/3=7/3$$
Přímka $q$ protíná osu $y$ v bodě, jehož $x$-ová souřadnice je nulová, spočítáme:
$$x=0=-2+6t$$
$$t=1/3$$
$$y=5+4*1/3=19/3$$
Ověříme zda přímka $p$ prochází bodem $[5;-4]$ a zároveň zda přímka $q$ prochází bodem $[6;4]$:
$$x=5=1+2t$$
$$t=2$$
$$y=2-3*2=-4$$
$$x=6=-2+6t$$
$$t=4/3$$
$$y=5+4*4/3=31/3≠4$$
Tudíž v prvním případě je tvrzení pravdivé, ve druhém nikoliv.
Pokud mají být přímky $p$ a $q$ na sebe kolmé, pak musejí být kolmé též jejich směrové vektory. To zjistíme prostřednictvím jejich skalárního součinu. Pokud bude roven nule, jsou kolmé:
$$u↖{→}=(2;-3)$$
$$v↖{→}=(6;4)$$
$$u↖{→}⋅v↖{→}=2*6-3*4=0$$
Ano přímky jsou na sebe kolmé.
Úloha A7
Rovnice je řešitelná pro všechna $x∈R$. Řešíme metodou nulových bodů ($x_0=0$):
$$x<0$$
$$-e^x+1=6e^x$$
$$e^x=1/7$$
$$x=ln(1/7)$$
$$x≥0$$
$$e^x-1=6e^{-x} | *e^x$$
$$e^2x-e^x=6$$
$$e^2x-e^x-6=0$$
$$a=e^x$$
$$a^2-a-6=0$$
$$a_{12}={1±√{1+24}}/2={1±5}/2$$
$$a_1=3=e^x$$
$$x=ln3$$
$$a_2=-2≠e^x x∈R$$
Řešením rovnice je dvojice hodnot $\{ln{1/7};ln3\}$.
Nyní k otázkám. Množina řešení není tříprvková. Pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak číslo opačné jím není. V intervalu $(0;∞)$ se nachází prácě jedno řešení a to $x=ln3$. Není pravda, že se v intervalu $(-∞;0)$ nenachází žádně řešení rovnice; naopak leží v něm číslo $ln{1/7}$. Množina řešení rovnice je dvouprvková.
Úloha A8
Spočítáme průsečíky paraboly a přímky neboli řešíme soustavu rovnic o dvou neznámých dosazovací metodou:
$$-2x+1=2x^2+x-1$$
$$2x^2+3x-2=0$$
$$x_12={-3±√{9+16}}/4={-3±5}/4$$
$$x_1=1/2$$
$$y_1=-2*1/2+1=0$$
$$x_2=-2$$
$$y_2=-2*(-2)+1=5$$
Zjistili jsme dva průsečíky $[-2;5]$ a $[1/2;0]$.
Zodpovíme otázky. Ano, přímka protíná parabolu ve dvou bodech. Není pravda, že všechny $x$-ové souřadnice průsečíků jsou kladné. Není pravda, že všechny $y$-ové souřadnice průsečíků jsou kladné. Ano, $y$-ová souřadnice všech průsečíků je celé číslo. Za účelem zodpovězení poslední otázky upravíme rovnici paraboly:
$$y=2x^2+x-1=2(x^2+1/2x)-1=2{(x+1/4)}^2-1/8-1=2{(x+1/4)}^2-9/8$$
Zjistili jsme, že minimum paraboly neboli její vrchol leží v bodě $[-1/4;-9/8]$, tudíž není pravda, že leží v bodě $[-1/2;-1]$.
Úloha A9
Nejprve odpovíme na poslední otázku. Představme si trojúhelník $ABC$ v rovině tak, že strana $AB$ leží "vodorovně" (rovnoběžně se spodní hranou papíru nebo webové stránky) a vrchol $C$ leží nad ní. Dle zadání pata výšky $v_c$, označme ji $V$, leží ve vzdálenosti $15$ cm od vrcholu $A$. To ale znamená, že bod $V$ leží "uvnitř" úsečky $AB$. To jednak proto, že strana $BC$ má "jen" $10$ cm, tak je příliš krátká na to, aby mohl bod $V$ ležet vlevo od vrcholu $A$. A jednak proto, že vzdálenost $15$ cm bodu $V$ od vrcholu $A$ je menší než délka $21$ cm celé strany $AB$ a proto bod $V$ nemůže ležet vpravo od vrcholu $B$. Z toho nutně plyne, že oba úhly $α$ i $β$ jsou ostré, tedy menší než $90°$ (nemůžou být ani pravé). Z toho vyplývá, že úhel $γ$ je větší než $90°$ a trojúhelník $ABC$ tedy není ostroúhlý.
Délku strany $b$ spočítáme pomocí Pythagorovy věty, nejprve spočteme velikost výšky $v_c$:
$${v_c}^2=10^2-{(21-15)}^2=100-36=64$$
$$v_c=8$$
$$b^2=15^2+8^2=225+64=289$$
$$b=17$$
Odpověď na první otázku je tedy ne, strana $b$ nemá délku $18$ cm. A u druhé otázky, ano výška $v_c$ má délku $8$ cm.
Nyní spočítáme délky těžnic $t_a$ a $t_c$, užijeme k tomu cosinovou větu. Předtím si ještě připravíme hodnotu cosinu úhlu beta:
$$cos(β)=6/10=3/5$$
$${(t_a)}^2=21^2+5^2-2*21*5*{3/5}=25+21*(21-30/5)=25+21*15=25+315=340$$
$$t_a=√{340}={√{4*85}}=2√85$$
$${(t_c)}^2={(21/2)}^2+10^2-2*{21/2}*10*{3/5}=100+{21/2}*({21/2}-60/5)=100+{21/2}*(-{3/2})=100-63/4=337/4$$
$$t_c=√{337/4}={√{337}}/2$$
Za účelem zodpovězení jedné z otázek hodnotu $t_c$ porovnáme s číslem $9$:
$$t_c={√{337}}/2≟9$$
$${√{337}}/2≟18/2$$
$$√{337}≟18$$
$$337>324$$
$$t_c>9$$
Zodpovíme zbývající dvě otázky, ano těžnice $t_a$ má délku $2√85$, ano těžnice $t_c$ je delší než $9$ cm.
Úloha A10
Tady pomůže představivost a dělání si náčrtků.
Úloha B1
Zde je nejrychlejší cestou k cíli nakreslit si graf funkce. Absolutní hodnota argumentu funkce sinus udělá graf symetrický okolo $y$-ové osy se zachováním tvaru v kladné části osy $x$. Absolutní hodnota celé takto upravené funkce obrátí vše pod osou $x$ nad ní. Výsledný graf tak tvoří sinové "obloučky" nad osou $x$ jeden za druhým, každý s periodou $π$.
Můžeme tedy odpovědět na otázky. Ano funkce je sudá (symetrická okolo osy $y$). Není tedy lichá. Ano funkce je periodická s periodou $π$. Funkce není rostoucí (ani klesající). Funkce není prostá.
Úloha B2
Stanovíme podmínky řešitelnosti funkce:
$$sin(x)≠0$$
$$x∈R\\\{0\}+kπ, k∈Z$$
Rovnici postupně upravujeme:
$$√{{(sinx)}^2/{(cosx)}^2+{(cosx)}^2/{(cosx)}^2}=1/{sin(x)}$$
$$√{1/{(cosx)}^2}=1/{sin(x)}$$
$$|{1/{cosx}}|=1/{sin(x)}$$
$$x∈\{π/4,3/4π\}+k2π, k∈Z$$
Odpovíme na otázky. Není pravda, že pokud je nějaké číslo řešením rovnice, je jím i číslo k němu opačné. Není pravda, že pokud je nějaké číslo řešením rovnice, je jím i číslo o $π$ větší. Ano, pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak je jím i číslo o $2π$ větší. Není pravda, že pokud je nějaké číslo řešením rovnice, je jím i číslo dvakrát větší. Ano, pokud je nějaké číslo řešením rovnice, pak je jím i číslo třikrát větší. Všechny odpovědi je snadné získat pohledem na jednotkovou kružnici s vyznačenými oběma řešeními v intervalu nula až $2π$.
Úloha B3
Nerovnici upravíme:
$$x(2-x)≥2-x$$
$$(2-x)(x-1)≥0$$
$$(x-2)(x-1)≤0$$
Metodou nulových bodů určíme řešení $x∈<1;2>$. Nyní už můžeme zodpovědět otázky. Ano, všechna řešení nerovnice jsou nezáporná. Ne, v množině řešení nerovnice není žádné záporné číslo. Ano, všechna řešení nerovnice jsou větší než ${√2}/2$, protože ${√2}/2<1$. Ne, množina všech řešení nerovnice není podmnožinou intervalu $<-1;√2>$, protože $√2<2$. Ano, je pravda, že množina všech řešení nerovnice má společné prvky s intervalem $<π/2{;}^3√8>=<π/2;2>$, protože uvedený interval je podmnožinou množiny všech řešení nerovnice.
Úloha B4
Vyjádříme rovnicí, co víme, a vyřešíme ji:
$$a_3/a_1=a_7/a_3$$
$${a_1+6}/a_1={a_1+18}/{a_1+6}$$
$${a_1}^2+12a_1+36={a_1}^2+18a_1$$
$$a_1=6$$
Odpovíme na otázky: $a_2=9$, $a_5=18$, $a_7=24$, $a_1+a_{10}=12+9*3=39$, $a_9/a_4=30/15=2.$
Úloha B5
Řešíme nerovnici metodou nulových bodů:
$$x<-1$$
$$x^2+2x+3≤0$$
$${(x+1)}^2+2≤0$$
$$x∈∅$$
Zde řešení nemáme, protože se parabola nachází nad osou $x$.
$$x≥-1$$
$$x^2-4x-3≤0$$
$$(x-2+√7)(x-2-√7)≤0$$
$$x∈<2-√7;2+√7>$$
Získali jsme řešení nerovnice, můžeme zodpovědět otázky. Ano, množina všech řešení nerovnice je uzavřený interval. Ano, řešením nerovnice je i číslo $π$, protože $π<2+√7$. Ano, řešením nerovnice je i číslo $-1/π$, protože $-1/π>2-√7$. Ano, řešením nerovnice je i číslo $2-√7$, je to počáteční bod intervalu množiny řešení. Ano, součin nejmenšího a největšího řešení nerovnice je celé číslo, protože $(2-√7)(2+√7)=4-7=-3$.
Úloha B6
Půjdeme postupně po jednotlivých otázkách.
$$-1=1+2t$$
$$t=-1$$
$$y=2-(-1)=3$$
Ano, úsečka $p$ prochází bodem $[-1;3]$.
$$1=-1+t$$
$$t=2$$
Ne, úsečka $q$ neprochází bodem $[1;4]$, protože parametr $t=2$ leží mimo stanovený interval pro úsečku $q$.
$$0=1+2t$$
$$t=-1/2$$
$$0=2-t$$
$$t=2$$
Ne, úsečka $p$ protíná pouze osu $y$ nikoliv zároveň osu $x$.
Spočítáme průsečík úseček, pokud vůbec existuje. Za tímto účelem parametr ve vyjádření úsečky $p$ přejmenujeme na $s$:
$$1+2s=-1+t$$
$$2-s=2t$$
__________________
$$5=-1+5t$$
$$t=6/5$$
Ne, úsečky se neprotínají, prtože parametr $t=6/5$ připadající na případný průsečík leží mimo interval stanovený pro úsečku $q$.
$$u↖{→}=(2;-1)$$
$$v↖{→}=(1;2)$$
$$u↖{→}⋅v↖{→}=2*1-1*2=0$$
Ano, úsečky jsou na sebe kolmé, protože jsou kolmé jejich směrové vektory (jejich skalární součin je roven nule).
Úloha B7
Vyřešíme rovnici metodou nulových bodů:
$$x<1$$
$$ln(x)-ln(x)=ln(4x-3)$$
$$1=4x-3$$
$$x=1$$
$$x∈∅$$
Zde řešení nemáme.
$$x≥1$$
$$ln(x)+ln(x)=ln(4x-3)$$
$$ln(x^2)=ln(4x-3)$$
$$x^2-4x+3=0$$
$$x_{12}={4±2}/2$$
$$x_1=1$$
$$x_2=3$$
Našli jsme tedy řešení $x∈\{1;3\}$, můžeme zodpovědět otázky. Ne, množina řešení rovnice nemá tři prvky. Ne, opačné číslo k řešení rovnice není řešením. Ano, v intervalu $(1;∞)$ leží právě jedno řešení. Ano, v intervalu $(-∞;0)$ neleží žádné řešení. Ano, množina všech řešení rovnice má dva prvky.
Úloha B8
Zjistíme průsečík parabol:
$$3x^2+x-1=x^2-3x+1$$
$$2x^2+4x-2=0$$
$$x^2+2x-1=0$$
$$x_{12}={-2±√8}/2=-1±√2$$
$$x_1=-1-√2$$
$$x_2=-1+√2$$
Odpovíme na první dvě otázky. Ano, paraboly mají dva průsečíky. Ne, $x$-ové souřadnice všech průsečíků nejsou kladné.
Dopočítáme $y$-ové souřadnice:
$$y_1={(-1-√2)}^2-3(-1-√2)+1=1+2+2√2+3+3√2+1=7+5√2$$
$$y_2={(-1+√2)}^2-3(-1+√2)+1=1+2-2√2+3-3√2+1=7-5√2$$
Zodpovíme další dvě otázky. Ne, $y$-ové souřadnice všech průsečíků nejsou kladná čísla (protože $7<5√2$, $49<50$). Ano, $x$-ové souřadnice všech průsečíků jsou iracionální čísla (protože $√2$ je iracionální číslo). Pro zodpovězení poslední otázky upravíme rovnici paraboly $p_2$:
$$y=x^2-3x+1={(x-3/2)}^2-9/4+1={(x-3/2)}^2-5/4$$
Ano, vrchol paraboly $p_2$ leží v bodě $[3/2;-5/4]$.
Úloha B9
Rychle zjistíme, nejlépe z náčrtku trojúhelníku, že trojúhelník $ABS$ je rovnoramenný (písmenem $S$ jsem označil střed strany $a$), což znamená, že délka úsečky $BS$ je stejná jako dělka těžnice $t_a$ tedy $|BS|=4$ cm. Z toho dále plyne, že délka strany $a=2*|BS|=2*4=8$ cm.
Dále vidíme, že úhel $ASB$ má velikost $180°-2*30°=120°$ a tím pádem úhel $ASC$ má velikost $180°-120°=60°$. Vzhledem k tomu, že obě strany trojúhelníku $ASB$ přiléhající vrcholu $S$ mají stejnou délku, tak je trojúhelník $ASC$ též rovnoramenný. Úhly $ACS$ i $CAS$ mají stenou velikost $(180°-60°):2=60°$. Trojúhelník $ASC$ je tak dokonce rovnostranný, což znamená, že délka strany $b=|AC|=4$ cm.
Trojúhelník $ABC$ je pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu $A$ (úhel $BAS$ má velikost $30°$ a úhel $CAS$ má velikost $60°$, dohromady tedy $30°+60°=90°$). Snadno tedy pomocí Pythagorovy věty spočítáme délku strany $c$: $c=√{8^2-4^2}=√{48}=√{3*16}=4√{3}$. Porovnáme délku strany $c$ s číslem $7$ a zjistíme, že délka strany $c$ není delší než $7$ cm, protože $c^2<7^2$ ($48<49$).
Obsah trojúhelníku $ABC$ je $1/2*4√{3}*4=8√{3}$ cm$^2$.
Úloha B10
Opět pomůže představivost a dělání si náčrtků.