MATEMATIKA ELEKTRONIKA POČÍTAČE HRY OSOBNÍ KONTAKT

ZÁKLADNÍ POJMY VĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTI ÚLOHY PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA VŠ MATURITNÍ ZKOUŠKA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA SŠ NÁSTROJE ZÁKLADNÍ ŠKOLA DOUČOVÁNÍ Přidat úlohu

Vzorový test přijímací zkoušky z matematiky na VŠ

6.2.2019

V tomto textu projdu vzorový test přijímacích zkoušek z matematiky na Fakultu elektrotechniky a informatiky Vysoké školy báňské - Technická univerzita Ostrava.

Fakulta tato zadání zveřejňuje na stránkách s informacemi o přijímacím řízení. Zadání je k dispozici ve formě PDF souboru - netuším ovšem, jak je to s autorskými právy. Proto zde zadání nebudu uvádět a pouze poskytnu webový odkaz na dané PDFko: vzorový test je zde.

Zadání jsou ve formě testů, kdy ke každé úloze je 5 možných odpovědí, ze kterých je pouze jedna správná. Poskytované zadání obsahuje pouze správné odpovědi na otázky, ale už ne popis řešení.

Řešení úloh: U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10 U11 U12 U13 U14 U15 U16

Úloha 1

Výraz zjednodušíme a následně za $x$ dosadíme $-√5$ :

${-x^3+x^2+7x+1}/{x^2-1}$

${5√5+5-7√5+1}/{5-1}={6-2√5}/{4}={3-√5}/{2}$

Úloha 2

Řešíme kvadratickou rovnici:

$x={2m±√{4m^2-4m^2+16}}/{2}=m±2$

Oba kořeny mají být záporné, z podmínek tak získáme:

$m-2<0$

$m+2<0$

$m∈(-∞;-2)$

Úloha 3

Je zřejmé, že $β$ musí být různé od $0°$ a $180°$ . Upravujeme:

${1+cos^2x-sin^2x}/{1-cos^2x+sin^2x}={2cos^2x}/{2sin^2x}=cotg^2x$

Úloha 4

Výrok "Jana se stihne připravit na matematiku" označíme $M$ a výrok "Jana pojede na hory" označíme $H$ . Tři výroky v zadání symbolicky zapíšeme ve tvaru implikace:

$M \Rightarrow H$

$\neg H \Rightarrow M$

$\neg M \Rightarrow \neg H$

Žádné z výroků nejsou ekvivalentní. Dospějeme k tomu například tak, že si vybavíme, že ekvivalentní výrok k implikaci $M \Rightarrow H$ je ¬H⇒¬M a výroky vzájemě porovnáváme.

Úloha 5

Pro $x<2/3$ má funkce vyjádření $y=-2x+2$ a pro $x>2/3$ má tvar $y=4x-2$ . Minimum má v bodě $x=2/3$ , kde nabývá hodnoty $y=2/3$ . Této funkci tedy odpovídá graf na obrázku $b$ .

Úloha 6

Upravujeme rovnici:

$sinx+cos^2x-sin^2x=0$

$sinx+1-sin^2x-sin^2x=0$

$2sin^2x-sinx-1=0$

Zavedeme substituci $a=sinx$ a řešíme kvadratickou rovnici:

$2a^2-a-1=0$

$a={1±3}/{4}$

$a_1=1$

$a_2=-1/2$

Pro $a_1=sinx=1$ řešení v intervalu ⟨180°;360°⟩ neexistuje. Pro $a_2=sinx=-1/2$ existují v uvedeném intervalu $2$ řešení $x∈\{210°;330°\}$ .

Úloha 7

Upravíme nerovnici na tvar:

$logx≤6$

Funkce $l o g x$ je rostoucí s definičním oborem $x>0$ , to znamená, že řešením nerovnice je interval $(0;10^6⟩$ .

Úloha 8

Najdeme průsečík $P$ prvních dvou přímek neboli vyřešením soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých získáme $P=[1;-1]$ . Aby tento bod ležel na třetí přímce (což dle zadání musí), pak dosazením jeho souřadnic do rovnice třetí přímky určíme parametr $c=-1$ .

Úloha 9

Obě podmínky upravíme do tvaru $y≤f(x)$ :

$y≤{x-1}/2$

$y≤-1$

Obě podmínky současně splňují body zobrazené na obrázku $e$ , protože se jedná o množinu bodů, které jednak leží pod přímkou rovnoběžnou s $x$ -ovou osou protínající $y$ -ovou osu v bodě $-1$ a zároveň se nacházejí pod přímkou $y={x-1}/2$ , která protíná $x$ -ovou osu v bodě $1$ a $y$ -ovou osu v bodě $-1/2$ .

Úloha 10

Jedničku na pravé straně upravíme na tvar $2^0$ a řešíme kvadratickou rovnici:

$x^2-5x+6=0$

$x={5±1}/2$

Rovnice má tedy dvě řešení $x_1=2$ a $x_2=3$ , jejichž součin je $6$ .

Úloha 11

Všechny členy ve výrazu obsahují logaritmus se stejným základem a víme, že v takovém případě je součet/rozdíl logaritmů roven logaritmu součinu/podílu argumentů:

$\log_{1/4}{{2^2*3*40}/{15}}=\log_{1/4}{32}=-{5/2}<0$

Úloha 12

Logaritmus je definován pro nezáporné hodnoty a pod odmocninou smí být pouze kladná čísla. Sjednocením těchto podmínek určíme definiční obor funkce. Z první podmínky $2-x>0$ máme:

$x<2$

Druhá podmínka $\log_{1/2}(2-x)≥0$ nám dá:

$1≤x<2$

Definiční obor tedy je množina $Df(x)=⟨1;2)$ .

Úloha 13

První trojciferné číslo dělitelné pěti je $a_1=100$ a poslední $a_n=995$ , těchto čísel je celkem $n={995-100}/{5}+1=180$ . Užitím vzorce pro součet prvních $n$ členů aritmetické posloupnosti spočteme:

$s_n=180{{100+995}/2}=90*1095=98550$

Úloha 14

Počet zaměstnanců označíme $N=822$ , počet žen $Z$ a počet mužů $M=0.37*Z$ . Jednoduchými počty určíme počet mužů:

$822=M+M/{0.37}$

$M={822*0.37}/{1.37}=222$

Úloha 15

Funkci upravíme do vhodného tvaru například takto:

$y=-[x^2-2x-2]=-[(x-1)^2-3]$

Funkce v hranaté závorce má vrchol (minimum) v bodě [1;-3]. Graf funkce, která nás zajímá, je s grafem této funkce osově souměrný podle $x$ -ové osy a má tedy vrchol (maximum) v bodě [1;3] - tomu odpovídá graf zobrazený na obrázku $d$ .

Úloha 16

Můžeme si třeba jednotlivé hodnoty (budu je značit $x_i$ ) upravit na přehlednější tvar a potom je porovnat:

$x_1=-2$

$x_2={10^4}/{9}$

$x_3=-1/27$

$x_4=-{10^4}/{5}$

$x_5=-{10^4}/{3}$

Hodnoty srovnané podle velikosti:

$-{10^4}/{3}<-{10^4}/{5}<-2<-1/27<{10^4}/{9}$