veiner.eu
ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTIÚLOHYPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA VŠMATURITNÍ ZKOUŠKAPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA SŠNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLADOUČOVÁNÍPřidat úlohu

Vzorový test přijímací zkoušky z matematiky na VŠ

6.2.2019

V tomto textu projdu vzorový test přijímacích zkoušek z matematiky na Fakultu elektrotechniky a informatiky Vysoké školy báňské - Technická univerzita Ostrava.

Fakulta tato zadání zveřejňuje na stránkách s informacemi o přijímacím řízení. Zadání je k dispozici ve formě PDF souboru - netuším ovšem, jak je to s autorskými právy. Proto zde zadání nebudu uvádět a pouze poskytnu webový odkaz na dané PDFko: vzorový test je zde.

Zadání jsou ve formě testů, kdy ke každé úloze je 5 možných odpovědí, ze kterých je pouze jedna správná. Poskytované zadání obsahuje pouze správné odpovědi na otázky, ale už ne popis řešení.

Řešení úloh: U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10 U11 U12 U13 U14 U15 U16

Úloha 1

Výraz zjednodušíme a následně za $x$ dosadíme $-√5$:

$${-x^3+x^2+7x+1}/{x^2-1}$$

$${5√5+5-7√5+1}/{5-1}={6-2√5}/{4}={3-√5}/{2}$$

Úloha 2

Řešíme kvadratickou rovnici:

$$x={2m±√{4m^2-4m^2+16}}/{2}=m±2$$

Oba kořeny mají být záporné, z podmínek tak získáme:

$$m-2<0$$

$$m+2<0$$

$$m∈(-∞;-2)$$

Úloha 3

Je zřejmé, že $β$ musí být různé od $0°$ a $180°$. Upravujeme:

$${1+cos^2x-sin^2x}/{1-cos^2x+sin^2x}={2cos^2x}/{2sin^2x}=cotg^2x$$

Úloha 4

Výrok "Jana se stihne připravit na matematiku" označíme $M$ a výrok "Jana pojede na hory" označíme $H$. Tři výroky v zadání symbolicky zapíšeme ve tvaru implikace:

$$M⇒H$$

$$¬H⇒M$$

$$¬M⇒¬H$$

Žádné z výroků nejsou ekvivalentní. Dospějeme k tomu například tak, že si vybavíme, že ekvivalentní výrok k implikaci $M⇒H$ je ¬H⇒¬M a výroky vzájemě porovnáváme.

Úloha 5

Pro $x<2/3$ má funkce vyjádření $y=-2x+2$ a pro $x>2/3$ má tvar $y=4x-2$. Minimum má v bodě $x=2/3$, kde nabývá hodnoty $y=2/3$. Této funkci tedy odpovídá graf na obrázku $b$.

Úloha 6

Upravujeme rovnici:

$$sinx+cos^2x-sin^2x=0$$

$$sinx+1-sin^2x-sin^2x=0$$

$$2sin^2x-sinx-1=0$$

Zavedeme substituci $a=sinx$ a řešíme kvadratickou rovnici:

$$2a^2-a-1=0$$

$$a={1±3}/{4}$$

$$a_1=1$$

$$a_2=-1/2$$

Pro $a_1=sinx=1$ řešení v intervalu ⟨180°;360°⟩ neexistuje. Pro $a_2=sinx=-1/2$ existují v uvedeném intervalu $2$ řešení $x∈\{210°;330°\}$.

Úloha 7

Upravíme nerovnici na tvar:

$$logx≤6$$

Funkce $logx$ je rostoucí s definičním oborem $x>0$, to znamená, že řešením nerovnice je interval $(0;10^6⟩$.

Úloha 8

Najdeme průsečík $P$ prvních dvou přímek neboli vyřešením soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých získáme $P=[1;-1]$. Aby tento bod ležel na třetí přímce (což dle zadání musí), pak dosazením jeho souřadnic do rovnice třetí přímky určíme parametr $c=-1$.

Úloha 9

Obě podmínky upravíme do tvaru $y≤f(x)$:

$$y≤{x-1}/2$$

$$y≤-1$$

Obě podmínky současně splňují body zobrazené na obrázku $e$, protože se jedná o množinu bodů, které jednak leží pod přímkou rovnoběžnou s $x$-ovou osou protínající $y$-ovou osu v bodě $-1$ a zároveň se nacházejí pod přímkou $y={x-1}/2$, která protíná $x$-ovou osu v bodě $1$ a $y$-ovou osu v bodě $-1/2$.

Úloha 10

Jedničku na pravé straně upravíme na tvar $2^0$ a řešíme kvadratickou rovnici:

$$x^2-5x+6=0$$

$$x={5±1}/2$$

Rovnice má tedy dvě řešení $x_1=2$ a $x_2=3$, jejichž součin je $6$.

Úloha 11

Všechny členy ve výrazu obsahují logaritmus se stejným základem a víme, že v takovém případě je součet/rozdíl logaritmů roven logaritmu součinu/podílu argumentů:

$$\log_{1/4}{{2^2*3*40}/{15}}=\log_{1/4}{32}=-{5/2}<0$$

Úloha 12

Logaritmus je definován pro nezáporné hodnoty a pod odmocninou smí být pouze kladná čísla. Sjednocením těchto podmínek určíme definiční obor funkce. Z první podmínky $2-x>0$ máme:

$$x<2$$

Druhá podmínka $\log_{1/2}(2-x)≥0$ nám dá:

$$1≤x<2$$

Definiční obor tedy je množina $Df(x)=⟨1;2)$.

Úloha 13

První trojciferné číslo dělitelné pěti je $a_1=100$ a poslední $a_n=995$, těchto čísel je celkem $n={995-100}/{5}+1=180$. Užitím vzorce pro součet prvních $n$ členů aritmetické posloupnosti spočteme:

$$s_n=180{{100+995}/2}=90*1095=98550$$

Úloha 14

Počet zaměstnanců označíme $N=822$, počet žen $Z$ a počet mužů $M=0.37*Z$. Jednoduchými počty určíme počet mužů:

$$822=M+M/{0.37}$$

$$M={822*0.37}/{1.37}=222$$

Úloha 15

Funkci upravíme do vhodného tvaru například takto:

$$y=-[x^2-2x-2]=-[(x-1)^2-3]$$

Funkce v hranaté závorce má vrchol (minimum) v bodě [1;-3]. Graf funkce, která nás zajímá, je s grafem této funkce osově souměrný podle $x$-ové osy a má tedy vrchol (maximum) v bodě [1;3] - tomu odpovídá graf zobrazený na obrázku $d$.

Úloha 16

Můžeme si třeba jednotlivé hodnoty (budu je značit $x_i$) upravit na přehlednější tvar a potom je porovnat:

$$x_1=-2$$

$$x_2={10^4}/{9}$$

$$x_3=-1/27$$

$$x_4=-{10^4}/{5}$$

$$x_5=-{10^4}/{3}$$

Hodnoty srovnané podle velikosti:

$$-{10^4}/{3}<-{10^4}/{5}<-2<-1/27<{10^4}/{9}$$