Čas ve speciální teorii relativity

5.9.2016 (upraveno 27.2.2023)

Je známé, že ve speciální teorii relativity (na rozdíl od Newtonovské mechaniky), jsou při transformaci souřadnic mezi vzájemně se pohybujícími vztažnými soustavami časové a prostorové souřadnice provázány prostřednictvím tzv. Lorentzovy transformace. Zde si na jednoduchém příkladě odvodíme vzorec pro dilataci času.

Pro speciální terorii relativity jsou klíčové dva postuláty. První říká, že všechny soustavy vzájemně se pohybující rovnoměrně přímočaře jsou ekvivalentní - neboli popis jevů má stejný tvar nezávisle na soustavě, ve které jev zkoumáme. Druhý z nich obsahuje tvrzení, že rychlost světla ve vakuu je konstantní nezávisle na soustavě, ve které rychlost světla zkoumáme. Neboli světlo má ve všech soustavách rychlost rovnou konstantě c.

Pro odvození vzorce si namodelujeme jednoduchou situaci (tato situace je pro svou jednoduchost a snadnou představu často používána v různých publikacích). Představíme si vlak jedoucí po koleji rovnoměrným přímočarým pohybem rychlostí v. Zvolíme dvě souřadné soustavy, z nichž jedna bude spojena s pohybujícím se vlakem a druhá bude vázána na nepohybující se okolí - například železniční kolej, po které se vlak pohybuje. Za těchto podmínek provedeme myšlenkový pokus, kdy v pohybujícím se vlaku v libovolném místě vzdáleném d od podlahy vagonu zapneme světelný zdroj a budeme zjišťovat, za jak dlouho paprsek dorazí k bodu na podlaze přímo pod světelným zdrojem (světlo se bude od zdroje šířit všemi směry, nás ale zajímá právě jeden konkrétní bod). Tento pokus popíšeme z pohledu pozorovatele v každé z obou soustav, přičemž nás budou zajímat pouze dvě prostorové souřadnice - v horizontálním směru pohybu vlaku x a ve svislém směru y.

Soustava spojená s vlakem

Počátek souřadné soustavy umístíme na podlahu vagonu do bodu, ve kterém budeme detekovat příchozí světlo. Počátek času bude odpovídat okamžiku zapnutí světelného zdroje. Máme tedy souřadnice výchozího bodu (zapnutí světla): $x = 0$, $y = d$, $t = 0$. Koncový bod (bod dopadu světla): $x = 0$, $y = 0$, $t = T$. Světlo tedy za čas $T$ urazilo vzdálenost $S = d = c * T$.

Soustava spojená s kolejemi

Počátek této soustavy bude totožný s počátkem soustavy pohybujícího se vlaku v okamžiku zapnutí světla. Souřadnice spuštění světelného zdroje budou tedy v obou soustavách číselně rovné: $x' = 0$, $y' = d$, $t' = 0$ (souřadnice spojené s kolejemi označíme čárkovaně). Bod detekce světla bude mít souřadnice: $x' = v * T'$, $y' = 0$, $t' = T'$. Cílový bod je v této soustavě v ose $x'$ posunutý, protože vlak během letu světla poodjel o vzdálenost $v * T'$. V tomto případě světlo za čas $T'$ urazilo vzdálenost $S' = c * T' = √{d^2 + v^2T'^2}$ (Pythagorova věta).

Výpočet

Je zřejmé, že vzdálenost $S'$ je větší než $S$, protože $S'$ tvoří přeponu pravoúhlého trojúhelníka, jehož jednou odvěsnou je $S$. V tom případě ale není možné, aby se $T$ rovnalo $T'$ - s ohledem na zmíněné postuláty musí totiž platit:

Doplníme za $S$ a $S'$:

Dosadíme $d = cT$ a upravujeme:

Koeficient $1/√{1-v^2/c^2}$, který se označuje $γ$, je vždy větší nebo roven jedné (protože rychlost v je vždy menší než rychlost světla c). Zapíšeme tyto vztahy a vyslovíme závěr:

Z této jednoduché úvahy za užití základních principů vyplynulo, že časový interval téže události má jinou hodnotu v různých soustavách. V soustavě pohybující se rovnoměrně přímočaře nenulovou rychlostí je časový interval kratší, než v soustavě, která je v klidu. Nepřesně řečeno, v pohybující se soustavě běží čas pomaleji.