Odvození rovnice elipsy

9.7.2018

Jak známo, elipsa je tvořena všemi body roviny, které mají konstantní součet vzdáleností od dvou pevně daných bodů. Na základě této definice odvodíme rovnici popisující elipsu. Na začátku si tedy zvolíme 2 libovolné různé body v rovině, které označíme A a B, a jejich vzájemnou vzdálenost označíme H. Dále zvolíme hodnotu, které se má rovnat součet vzdáleností - tu označíme D, a musí pro ni platit D>H.

Tuto dodatečnou podmínku získáme jednoduchou úvahou. Představíme si způsob konstrukce elipsy, kdy každý bod elipsy vznikne průnikem dvou kružnic se středy v bodech A a B a poloměry takovými, že jejich součet je roven D. Potom v případě, kdy D<H, dojde k tomu, že se kružnice nikdy neprotnou - elipsu za této podmínky nelze zkonstruovat. V případě, kdy D=H, se kružnice dotknou pouze v bodech ležících na úsečce AB. Za podmínky D>H se kružnice protnou a průniky vytvoří elipsu.

Záměrně se budu vyhýbat pojmům a značení běžně s elipsou spojovaných tak, abychom rovnici získali čistě na základě uvedené definice. Na obrázku dole máme 2 libovolné body a červenou přerušovanou čarou je naznačena velikost D.

Vzhledem k tomu, že souřadnou soustavu můžeme zvolit libovolně, proložíme x-ovou osu body A a B a y-ová osa bude procházet středem úsečky AB. Souřadnice bodů potom budou A[-H/2;0], B[H/2;0], kde H>0 je vzdálenost bodů A a B.

Podle definice elipsy má platit:

$|AX|+|BX|=D$

Dosadíme a upravujeme:

$√{(x+H/2)^2+y^2}+√{(x-H/2)^2+y^2}=D$

$(2x^2+2y^2+H^2/2-D^2)^2=4[(x+H/2)^2+y^2][(x-H/2)^2+y^2]$

$D^4+4x^2H^2-4x^2D^2-H^2D^2-4y^2D^2=0$

$(4H^2-4D^2)x^2-4D^2y^2+D^4-H^2D^2=0$ (1)

Vztah (1) je hledanou rovnicí elipsy. Vyhovuje všem bodům v rovině, které splňují požadované vlastnosti. Rovnice obsahuje pouze zadané hodnoty: H je vzdálenost libovolně zvolených bodů A a B, a D je zvolená hodnota, které se měly rovnat součty vzdáleností.

Zde bychom mohli skončit, protože cíl byl splněn. Nicméně rovnici uvedeme do podoby, jak ji běžne známe. Body A a B se nazývají ohniska a značívají se například F1, F2 nebo F, G. Vzájemná vzdálenost ohnisek se obvykle značí 2e - moje označení H tedy odpovídá 2e. Hodnota součtu vzdáleností se značí 2a a odpovídá tak mému D. Upravíme (1) tak, aby byla na pravé straně jednička, provedeme záměnu symbolů a drobně upravíme:

$x^2/{D^2/4}-y^2/{{H^2-D^2}/4}=1$

$H=2e$

$D=2a$

$x^2/a^2-y^2/{e^2-a^2}=1$ (2)

Dále se podíváme na 2 speciální body elipsy, které nám pomohou jednak objasnit význam pojmenování hlavní a vedlejší poloosa a také nám umožní finální úpravu vztahu (2).

Bude to jednak bod, který leží na kladné části x-ové osy - tento bod má souřadnice [x;0] a musí pro něj platit:

$(x+e)+(x-e)=2a$

$x=a$

Druhý bod, na který se podíváme, leží na kladné části y-ové osy. Má souřadnice [0;y] a platí pro něho:

$√{e^2+y^2}+√{e^2+y^2}=2a$

$y=√{a^2-e^2}$

Souřadnice tohoto bodu se obvykle značí [0;b]. A tak:

$b=√{a^2-e^2}$

$b^2=a^2-e^2$ (3)

Dosazením (3) do (2) získáme rovnici elipsy (se středem v počátku soustavy souřadnic a hlavní osou totožnou s x-ovou osou) tak, jak ji běžně známe:

$x^2/a^2-y^2/{-b^2}=1$

$x^2/a^2+y^2/b^2=1$ (4)

Na závěr se ještě můžeme krátce zamyslet nad tím, jak bude vypadat rovnice elipsy v případě, že ohniska nebudou symetricky umístěna na x-ové ose, ale hlavní osa bude s x-ovou osou rovnoběžná. Řekněme, že celá elipsa bude ze základní polohy posunutá v x-ové ose o hodnotu Δx=m a v y-ové ose o Δy=n. Potom každý bod X[x;y] elipsy přejde do bodu X'[x';y']=[x+m;y+n]. Pokud elipsu z nové pozice virtuálně posuneme do původní polohy, tedy uděláme tranformaci X'->X'+(X-X') pro všechny body elipsy, bude dále platit rovnice (4):

$X'+(X-X')=[x';y']+([x;y]-[x+m;y+n])=[x';y']+(-m;-n)=[x'-m;y'-n]$

$(x´-m)^2/a^2+(y´-n)^2/b^2=1$