Odvozování rovnic kuželoseček - parabola

12.7.2018

Parabola je definována jako křivka v rovině, pro jejíž všechny body platí, že jejich vzdálenost od daného bodu je rovna jejich vzdálenosti od dané přímky (, která neprochází oním bodem). Z této definice odvodíme rovnici paraboly.

Pevně daný libovolný bod v rovině označíme A a pevně danou libovolnou přímku neprocházející bodem A označíme třeba s. Vzdálenost bodu A od přímky s budeme značit D.

Souřadnou soustavu zavedeme tak, že x-ovou osu položíme do přímky s a y-ová osa bude procházet bodem A tak, že ten bude mít souřadnice A[0;D].

Vyjádříme rovnost vzáleností |AX| a |sX|, a upravujeme:

$√{x^2+(y-D)^2}=|y|$

$x^2+y^2+D^2-2Dy=y^2$

$x^2-2Dy+D^2=0$ (1)

Vztah (1) je hledanou rovnicí paraboly.

Bod A se nazývá ohnisko a značí se obvykle F, přímce s se říká řídící přímka a její vzdálenost od ohniska - D - se značí většinou p a říká se jí parametr paraboly.

Úpravou (1) a nahrazením D=p, můžeme rovnici upravit do známější podoby:

$y=1/{2D}x^2+D/2$

$D=p$

$y=1/{2p}x^2+p/2$ (2)

Podíváme-li se na rovnici (2), vidíme, že y nabývá minima pro x=0. Tento bod o souřadnicích [0;p/2] se nazývá vrchol paraboly. Druhou vlastností je, že parabola je (v tomto případě) souměrná podle y-ové osy - to nám říká druhá mocnina proměnné x na pravé straně.