Skalární součin vektorů v rovině

21.12.2018

Skalární součin je operace, která dvěma vektorům přiřadí reálné číslo. Ze střední školy známe dvě různá vyjádření skalárního součinu v rovině. Jednak pomocí souřadnic:

$$u↖{→}⋅v↖{→}=u_xv_x+u_yv_y$$ (1)

Ale též pomocí velikostí vektorů a úhlu, který svírají:

$$u↖{→}⋅v↖{→}=|u↖{→}|⋅|v↖{→}|⋅cos φ$$ (2)

Podíváme se na to, jak spolu obě vyjádření souvisí. Uděláme to tak, že úpravou výrazu na pravé straně rovnosti (1) získáme pravou stranu (2). K tomu si zavedeme označení pro úhly, které svírají vektory s x-ovou osou. Pro vektor $u↖{→}$ to bude úhel $α$ a pro vektor $v↖{→}$ úhel $β$.

Upravujeme tedy pravou stranu (1):

$$u_xv_x+u_yv_y=|u↖{→}|⋅cosα⋅|v↖{→}|⋅cosβ+|u↖{→}|⋅sinα⋅|v↖{→}|⋅sinβ=$$

$$=|u↖{→}|⋅|v↖{→}|⋅(cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ)=|u↖{→}|⋅|v↖{→}|⋅cos(α-β)=|u↖{→}|⋅|v↖{→}|⋅cosφ$$

Během úpravy jsem využil vzorce pro cosinus rozdílu úhlů, toho že $|α-β|$ je rovno $φ$ a rovnosti $cos(α-β)=cos(β-α)$.