Proč je součet úhlů trojúhelníku roven 180°?

11.8.2017

Ukážeme si, proč se součet vnitřních úhlů trojúhelníku rovná $180 °$. Začneme tím, že zvolíme obecný trojúhelník a natočíme si ho pro názornost tak, aby strana $AB$ ležela ve vodorovném směru:

Body $A$ a $B$ trojúhelníku proložíme přímku $p$, a bodem $C$ vedeme přímku $q$ s ní rovnoběžnou. Na přímce $q$ si zavedeme pomocné body $K$ a $L$. Dále vyznačíme vnitřní úhly:

Nyní si všimneme přímého úhlu ($180°$) $KCL$, který se skládá z úhlů $γ$, $KCA$ a $LCB$. Neboli:

$$180° = γ + KCA + LCB$$ (1)

Velikosti úhlů $KCA$ a $LCB$ určíme snadno, protože $KCA$ je úhel střídavý s $α$ a vzhledem k tomu, že přímky $p$ a $q$ jsou rovnoběžné, jsou tyto úhly totožné. To samé platí pro úhel $LCB$, který je střídavý s úhlem $β$. A tedy:

$KCA = α$

$LCB = β$

Dosazením do (1):

$180° = α + β + γ$