ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTIÚLOHYPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA VŠMATURITNÍ ZKOUŠKAPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA SŠNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLADOUČOVÁNÍPřidat úlohuPřidat řešení úlohyPřidat komentář
Rozdíl drah slunečních paprsků zemskou atmosféru v létě a v zimě
Ladislav Veiner, 06.09.2020 12:07
Spočítejte délky drah slunečního paprsku zemskou atmosférou v létě a v zimě pro místo se severní zeměpisnou šířkou 50 stupňů v pravé poledne (slunce má největší výšku nad obzorem).
Pro výpočet uvažujte následující hodnoty. Považujte Zemi za dokonalou kouli o průměru 12700 km. Výška atmosféry Země 100 km. Úhel rotační osy Země k rovině oběžné dráhy 66.5°. Slunce, jako zdroj záření, nahraďte bodem ve vzdálenostech 147000000 km a 152000000 km (zima a léto) od středu Země.
Přidat řešení úlohy Přidat komentář
Řešení číslo 1, Ladislav Veiner, 27.09.2020 21:21
Označím si: odklon osy od kolmice k oběžné dráze $α=23.5$, zeměpisnou šířku $φ=50$, poloměr Země $R=6350$, vzdálenost Země od Slunce $D$ - v létě $D_L=152000000$, v zimě $D_Z=147000000$. Všechny vzdálenosti v kilometrech, úhly ve stupních.
Pro výpočet použiju analytickou geometrii, přičemž si vystačím se zobrazením v rovině. Počátek souřadné soustavy zvolím ve středu Země $Z[0;0]$, $x$-ová osa bude ležet na spojnici středů Země-Slunce. Povrch Země je v tomto zobrazení kružnicí se středem $Z$ a poloměrem $R$. Hranice atmosféry je kružnice s tímtéž středem a poloměrem $R_A=R+100=6450$. Sluneční paprsek (přímka) protne obě kružnice, přičemž vzdálenost průsečíků je hledaná dráha. Slunce má souřadnice $S[D;0]$.
Místo na Zemi, pro které výpočet provádím, bude mít souřadnice $E[b;a]$:
$$b=R*cos(φ±α)$$
$$a=R*sin(φ±α)$$
Plus platí pro polohu Země v zimě (zemská osa je odkloněná od Slunce) a mínus v létě (osa přikloněná).
Rovnice kružnice atmosféry:
$$x^2+y^2={R_A}^2$$
Rovnice přímky (paprsku):
$$ax+(D-b)y-Da=0$$
Vzal jsem směrový vektor spojující Slunce a místo na Zemi $(b-D;a)$, normálový vektor $(a;D-b)$, dosazením souřadnic polohy (středu) Slunce do rovnice $ax+(D-b)y+c=0$ jsem získal chybějící parametr $c=(-Da)$.
Je třeba vyřešit soustavu dvou rovnic. Z rovnice přímky vyjádřím $y$ a dosadím do rovnice kružnice:
$$y={Da-ax}/{D-b}$$
$$x^2+{({Da-ax}/{D-b})}^2={R_A}^2$$
Úpravami získám:
$$x={Da^2±√{D^2a^4-(a^2+(D-b)^2)*(D^2a^2-{R_A}^2*(D-b)^2})}/{a^2+{(D-b)}^2}$$
Dosadím:
$$y=√{{R_A}^2-x^2}$$
Dráhu paprsku spočítám jako vzdálenost průsečíků $|EA|$:
$$|EA|=√{(b-x)^2+(a-y)^2)}$$
Dosazením získám:
$${|EA|}_L=111.5$$
$${|EA|}_Z=325.5$$
V létě je tedy délka dráhy paprsku zhruba $112$ $km$ a v zimě $326$ $km$. Rozdíl činí $214$ $km$, což je asi $66 %$ délky v zimě. Letní dráha činí zhruba $34 %$ zimní dráhy, tedy v zimě paprsek urazí atmosférou přibližně třikrát větší vzdálenost než v létě.
