ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTIÚLOHYPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA VŠMATURITNÍ ZKOUŠKAPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA SŠNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLADOUČOVÁNÍPřidat úlohuPřidat řešení úlohyPřidat komentář
Největší výška slunce nad obzorem v létě a v zimě
Ladislav Veiner, 02.12.2020 17:35
Spočítejte největší výšku slunce nad obzorem v létě a v zimě pro místo se severní zeměpisnou šířkou 50 stupňů. Případně určete závislost výšky na zeměpisné šířce.
Pro výpočet uvažujte následující hodnoty. Považujte Zemi za dokonalou kouli o průměru 12700 km. Úhel rotační osy Země k rovině oběžné dráhy 66.5°. Slunce nahraďte bodem ve vzdálenostech 147000000 km a 152000000 km (zima a léto) od středu Země.
Přidat řešení úlohy Přidat komentář
Řešení číslo 1, Ladislav Veiner, 25.12.2020 17:04
Označím si odklon osy od kolmice k oběžné dráze $α=90°-66.5°=23.5°$, zeměpisnou šířku $φ=50°$, poloměr Země $R=6350$ $km$, vzdálenost Země od Slunce $D$ - v létě $D_L = 152000000$ $km$, v zimě $D_Z=147000000$ $km$. Pozorovací místo na Zemi označím $E$, střed Země $Z$, střed Slunce $S$, průmět bodu $E$ na spojnici Slunce-Země $D$, průsečík roviny horizontu se spojnicí Slunce-Země $H$. Dále označím úhly $EZS=β$, $DES=γ$, $HES=δ$.
Z obrázku je zřejmé, že řešením úlohy je velikost úhlu $δ$, což je úhel, pod kterým uvidíme Slunce nad obzorem v pravé poledne (díváme se jižním směrem).
Hledanou velikost úhlu $δ$ spočítám tak, že od velikosti úhlu $γ$ odečtu velikost úhlu $DEH$, jehož velikost je rovna $90°$ mínus velikost úhlu $ZED$ (protože $EH$ je kolmé k $ZE$). A konečně velikost úhlu $ZED$ je rovna $90°$ mínus $β$ (máme pravoúhlý trojúhelník $ZDE$). Úhel $β$ je roven $φ±α$ (, protože rovník svírá se spojnicí $ZS$ úhel $α$ a $φ$ je úhel mezi rovníkem a spojnicí $ZE$). Plus platí pro zimu a mínus pro léto.
Zbývá určit, jak spočítat úhel $γ$. Použijeme pravoúhlý trojúhelník $EDS$, v němž si spočítáme délky odvěsen $DE=y$ a $DS=x$, a velikost úhlu spočítáme pomocí funkce $arctg$.
Počítáme:
$$x=D-R*cos(β)$$
$$y=R*sin(β)$$
$$tg(γ)=x/y$$
$$γ=arctg(x/y)$$
$$δ=γ-β=arctg(x/y)-β=arctg({D-R*cos(β)}/{R*sin(β)})-β$$
Neboli:
$$δ=arctg({D-R*cos(φ±α)}/{R*sin(φ±α)})-(φ±α)$$
Po dosazení hodnot ze zadání získáme pro léto přibližně hodnotu $63.5°$ a pro zimu $16.5°$.
Komentář číslo 1, Ladislav Veiner, 25.12.2020 18:04
Závislost výšky Slunce na zeměpisné šířce v létě.
Komentář číslo 2, Ladislav Veiner, 25.12.2020 18:06
Závislost výšky Slunce na zeměpisné šířce v zimě.
