MATEMATIKA ELEKTRONIKA POČÍTAČE HRY OSOBNÍ KONTAKT

ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTIÚLOHYPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA VŠMATURITNÍ ZKOUŠKAPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA SŠNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLADOUČOVÁNÍPřidat úlohuPřidat řešení úlohyPřidat komentář

Ořechy

16.10.2014 23:23

Pepa nasbíral do košíku poslední spadlé ořechy a zavolal na partu holek, ať se o ně podělí. Dal si ale podmínku : první si vezme 1 ořech a desetinu zbytku, druhý si vezme 2 ořechy a desetinu nového zbytku, třetí si vezme 3 ořechy a desetinu dalšího zbytku a tak dále. Takto se podařilo rozebrat všechny ořechy a přitom každá dostala stejně.
Určete, kolik Pepa nasbíral ořechů a kolik se o ně dělilo děvčat.

 

 Přidat řešení úlohy   Přidat komentář 

---

Řešení číslo 1, Ladislav Veiner, 31.03.2018 20:28

Počet dívek označíme $\mathit{D}$, celkový počet ořechů $\mathit{N}$, a počet ořechů, který dostala každá z dívek $\mathit{n}$.

Ze zadání víme, že všechny ořechy se rovnoměrně rozdělily mezi dívky:

$\mathit{N}=\mathit{D}\mathit{n}$ (1)

Zapíšeme, kolik ořechů dostala první dívka:

$\mathit{n}=1+\frac{\mathit{N}-1}{10}$

Upravujeme:

$10\mathit{n}=10+\mathit{N}-1$
$\mathit{N}=10\mathit{n}-9$ (2)

Máme vztah mezi celkovým počtem ořechů a počtem ořechů každé dívky. Nyní napíšeme vztah pro počet ořechů, který dostala poslední dívka:

$\mathit{n}=\mathit{D}+\frac{\mathit{N}-\left(\mathit{D}-1\right)\mathit{n}-\mathit{D}}{10}$

Upravujeme:

$10\mathit{n}=10\mathit{D}+\mathit{N}-\mathit{D}\mathit{n}+\mathit{n}-\mathit{D}$
$9\mathit{n}=9\mathit{D}+\mathit{N}-\mathit{D}\mathit{n}$

Podle vztahu (1) je rozdíl $\mathit{N}-\mathit{D}\mathit{n}$ roven nule a tedy:

$9\mathit{n}=9\mathit{D}$
$\mathit{n}=\mathit{D}$ (3)

Zjistili jsme, že každá dívka dostala stejný počet ořechů jako je počet dívek. Dosadíme za $\mathit{n}$ do (1) a (2):

$\mathit{N}={\mathit{D}}^2$ (4)
$\mathit{N}=10\mathit{D}-9$

Řešíme soustavu rovnic - od první rovnice odečteme druhou:

${\mathit{D}}^2-10\mathit{D}+9=0$
${\mathit{D}}_1=9$
${\mathit{D}}_2=1$

Dosadíme do (4) a získáme:

${\mathit{N}}_1=81$
${\mathit{N}}_2=1$

Výsledkem tedy jsou dvě řešení:

1) 9 dívek si rozdělilo celkem 81 ořechů (a každá jich dostala 9).
2) Jedna dívka dostala jeden ořech.

Řešení číslo 2 je matematicky správně. Otázka ovšem je, jestli vyhovuje zadání úlohy, kde se výslovně mluví o minimálně třech dívkách ...

 

---