ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTIÚLOHYPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA VŠMATURITNÍ ZKOUŠKAPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA SŠNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLADOUČOVÁNÍPřidat úlohuPřidat řešení úlohyPřidat komentář
Obdélník a kružnice
13.10.2018 15:58
Na obrázku dole je obdélník ABCD a v něm je vepsána půlkružnice. Zakreslena je též úhlopříčka AC obdélníku. Průsečík půlkružnice a úhlopříčky je označen E. Jediná hodnota, kterou známe, je vzdálenost CE = 2 cm.
Určete velikosti stran obdélníku a jeho obsah. Dále vypočítejte úhly α a γ v trojúhelníku ABC.
Přidat řešení úlohy Přidat komentář
Řešení číslo 1, Ladislav Veiner, 13.10.2018 16:44
Poloměr kružnice označíme $r$. Pak je zřejmé, že
$|AB|=2r$
$|BC|=r$
Trojúhelník $ABC$ je pravoúhlý a podle Pythagorovy věty pro něho platí:
$|AC|^2={|AB|}^2+{|BC|}^2$
$|AC|^2=4r^2+r^2=5r^2$
$|AC|={√5}r$
Dále pro tentýž trojúhelník použijeme Euklidovu větu o výšce. Výškou je v tomto případě úsečka $BE$. To proto, že bod $E$ leží na Thaletově kružnici nad průměrem $AB$. Úhel u vrcholu $E$ v trojúhelníku $ABE$ je tudíž pravý. Euklidova věta nám dá tento vztah:
$|BC|^2=2{|AC|}$
$r^2=2|AC|$
$|AC|={r^2}/2$
Máme tedy dvojí vyjádření pro velikost $|AC|$ pomocí $r$, tak je porovnáme a určíme velikost $r$ neboli $|BC|$:
${√5}r={r^2}/2$
$r(r-2{√5})=0$ , $r$ jistě nebude nulové a tak:
$r=2{√5}$
Nyní máme velikosti stran trojúhelníku $ABC$:
$|BC|=2{√5}$
$|AB|=4{√5}$
$|AC|=10$
Spočítáme obsah obdélníku $ABCD$:
$S=|AB|*|BC|=4{√5}*2{√5}=40$
Ještě zbývají úhly trojúhelníku $ABC$:
$α=arcsin({|BC|}/{|AC|})=arcsin({2{√5}}/{10})=26.57°$
$γ=90°-α=90°-26.57°=63.43°$
