ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTIÚLOHYPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA VŠMATURITNÍ ZKOUŠKAPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA SŠNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLADOUČOVÁNÍPřidat úlohuPřidat řešení úlohyPřidat komentář
Vzdálenost dvou míst na Zemi
Ladislav Veiner, 31.10.2018 16:23
Spočítejte vzdálenost mezi dvěma místy na Zemi (označme je A a B), která jsou určena zeměpisnými souřadnicemi. Určete jednak přímou vzdálenost, t.j. délku úsečky AB, a taktéž nejkratší vzdálenost po povrchu Země (pokud by například mezi místy AB vedla "rovná" silnice).
Zemi považujte za dokonalou kouli o poloměru 6370 km. Bod A má souřadnice 63.455° severní šířky, 32.233° východní délky. Bod B má souřadnice 49.771° jižní šířky, 111.111° západní délky.
Přidat řešení úlohy Přidat komentář
Řešení číslo 1, Ladislav Veiner, 02.11.2018 19:11
Poloha bodu na povrchu Země je určena pomocí dvou souřadnic zvaných zeměpisná šířka a zeměpisná délka.
Pro upřesnění pojmu zeměpisná šířka si zavedeme pomocnou rovinu, kterou nazvu třeba "místní rovina", což je rovina, která prochází místním poledníkem (to je poledník, na kterém leží dotyčný bod). Zeměpisná šířka je potom úhel (budu ho značit $φ$), který svírá rovina procházející rovníkem a rovina, která jednak prochází středem Země a dotyčným bodem, a zároveň je kolmá k "místní rovině". Tento úhel se měří od rovníku k severu (severní šířka) v rozmezí od 0° do 90° a od rovníku k jihu (jižní šířka) od 0° do -90°.
Zeměpisná délka je úhel (budu ho značit $λ$), který svírá rovina procházející tzv. nultým poledníkem a rovina procházející místním poledníkem. Tento úhel se měří v kladném smyslu (východní délka) od 0° do 180° a v záporném smyslu (západní délka) od 0° do -180°.
Pro výpočet vzdáleností jsem zvolil následující postup. Souřadnice bodů převedu do kartézských souřadnic, přičemž počátek této soustavy bude umístěn do středu Země. Osa $x$ bude ležet v rovině rovníku a bude orientována ve směru nultého poledníku, osa $y$ bude taktéž ležet v rovině rovníku, a osa $z$ bude mířit třeba k severu. Jakmile budu mít tyto souřadnice, spočítám úhel, který svírají polohové vektory obou bodů. Spočítat vzdálenost bodů už potom bude jednoduché.
Zavedeme označení:
$r=6370$ km - poloměr Země
$φ_A=63.455°,λ_A=32.233°$ - souřadnice bodu A
$φ_B=-49.771°,λ_B=-111.111°$ - souřadnice bodu B
1) Převod do kartézských souřadnic
$$x=r*cosφ*cosλ$$
$$y=r*cosφ*sinλ$$
$$z=r*sinφ$$
2) Úhel se určí pomocí vztahu
$$cosα={u↖{→}⋅v↖{→}}/{|u↖{→}||v↖{→}|}$$
kde $α$ je úhel, který svírají vektory, $u↖{→}⋅v↖{→}$ je skalární součin vektorů a $|u↖{→}|,|v↖{→}|$ jsou velikosti vektorů.
3) Jakmile budeme znát velikost úhlu, vzdálenost mezi body po povrchu $s$ se spočítá ze vztahu
$$s=r*α$$
kde velikost úhlu $α$ je v radiánech. Převodní vztah mezi úhlovými stupni a radiány vychází ze vztahu $180°=π $ radiánů.
4) Přímou vzdálenost $d$ můžeme spočítat jako velikost vektoru s počátkem v jednom bodě a koncem v druhém. Jednodušší ale možná bude využít mezivýsledku v podobě úhlu $α$. Vzdálenost se potom bude rovnat
$$d=2r*sin{α/2}$$
Proč takto dostaneme požadovanou vzdálenost, je vidět na obrázku dole.
Jdeme počítat. Podle bodu 2) budeme mít:
$$cosα={(r^2)}{{cosφ_A*cosφ_B*cosλ_A*cosλ_B+cosφ_A*cosφ_B*sinλ_A*sinλ_B+sinφ_A*sinφ_B}/{r^2}}$$, zkrátíme a upravíme
$$cosα=cosφ_A*cosφ_B*(cosλ_A*cosλ_B+sinλ_A*sinλ_B)+sinφ_A*sinφ_B$$
Teď dle 3) počítáme:
$$s=r*α=r*arccos(cosφ_A*cosφ_B*(cosλ_A*cosλ_B+sinλ_A*sinλ_B)+sinφ_A*sinφ_B)$$
Dle 4) získáme:
$$d=2r*sin({arccos(cosφ_A*cosφ_B*(cosλ_A*cosλ_B+sinλ_A*sinλ_B)+sinφ_A*sinφ_B)}/2)$$
Pokud dosadíme zadané hodnoty, přičemž nezapomeneme, že v 3) musí být úhel v radiánech, dostaneme:
$α=156.1397°$, zde vidíme, že obě místa jsou "téměř naproti sobě"
$s=17359.2$ km
$d=12464.8$ km
