ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTIÚLOHYPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA VŠMATURITNÍ ZKOUŠKAPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA SŠNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLADOUČOVÁNÍPřidat úlohuPřidat řešení úlohyPřidat komentář
Hvězda
Ladislav Veiner, 02.01.2019 00:29
Na obrázku dole je znázorněna $12$ti cípá hvězda. Tato hvězda je osově souměrná podle každé přímky, která prochází dvěma protilehlými vrcholy. Na obrázku jsou označeny dva z těchto protilehlých vrcholů $A$ a $B$.
Spočítejte obsah a obvod útvaru tvořeného hvězdou, víte-li, že platí $|AB|=16$ $cm$ a $|CD|=2$ $cm$.
Přidat řešení úlohy Přidat komentář
Řešení číslo 1, Ladislav Veiner, 10.01.2019 18:25
Pokud je hvězda souměrná tak, jak je uvedeno v zadání, pak jsou její vrcholy totožné s vrcholy pravidelného 12ti úhelníku, jak je znázorněno na obrázku dole.
Poloměr velké kružnice označím $R$, přičemž $R={|AB|}/2=8$. Poloměr malé kružnice bude značen $r$. Střed kružnic můžeme označit $S$. Pak pro úhel CSD, značený $α$, platí $α={360°}/12=30°$. Vzdálenost $|CD|$ označím $p=2$.
Obsah hvězdy se bude rovnat součtu obsahu trojúhelníků tvořících menší 12ti úhelník a obsahu 12ti trojúhelníků tvořících "paprsky". Tedy v souladu se značením na obrázku:
$$S=12{{pv}/2}+12{{p(R-v)}/2}=6pR=6*2*8=96$$
Obsah obrazce je roven $96$ $cm^2$.
Možná existuje nějaké jednoduché elegantní řešení pro obvod obrazce - nicméně ho nevidím a tak použiju postupný výpočet. Obvod hvězdy je 24 násobek "boční délky" paprsku značené $q$ a tedy $o=24q$. Hodnotu $q$ vypočítám užitím Pythagorovy věty:
$$q^2={(p/2)}^2+{(R-v)}^2$$
Potřebuju znát $v$, které určím pomocí úhlu $α$:
$$tg{α/2}={p/2}/v$$
Pokud dám vše dohromady, spočítám obvod:
$$o=24q=24{√{{(p/2)}^2+{(R-{p/{2tg{α/2}}})}^2}}$$
Po dosazení hodnot:
$$o=24{√{1+{(8-1/{tg15°})}^2}}≐105.2$$
Obvod obrazce je přibližně $105.2$ $cm$.