Zlatý řez

9.12.2018

Zlatým řezem se nazývá speciální poměr, ve kterém je úsečka rozdělena na dvě části. Pravidlo pro zlatý řez říká, že poměr délky úsečky k délce její větší části je stejný jako poměr délky větší části k délce menší části.

Pokud si krajní body úsečky označíme $A$ a $B$, a bod dělící úsečku $X$, přičemž bude třeba $AX$ delší částí úsečky $AB$ neboli:

$$|AB|=|AX|+|BX|$$ (1)

$$|AX|>|BX|$$

Pak v případě zlatého řezu platí:

$${|AB|}/{|AX|}={|AX|}/{|BX|}$$ (2)

Pokud nás zajímá, čemu je tento poměr roven, tak do (2) dosadíme z (1) a upravujeme:

$${|AX|+|BX|}/{|AX|}={|AX|}/{|BX|}$$

$$|AX|^2-|BX||AX|-|BX|^2=0$$

Řešíme kvadratickou rovnici s neznámou $|AX|$, přičemž $|BX|$ považujeme za parametr:

$$|AX|={|BX|±√{5|BX|^2}}/2={|BX|±√{5}|BX|}/2$$

Vzhledem k tomu, že poměr má být kladné číslo, tak vyhovuje pouze kořen "s plusem". Dosazením nalezeného vztahu do poměru mezi $|AX|$ a $|BX|$ získáme číselné vyjádření zlatého řezu:

$${|AX|}/{|BX|}={{|BX|+√{5}|BX|}/2}/{|BX|}={1+√{5}}/2=1/2+√{5/4}=0.5+√{1.25}≐1.618033988...$$