Odvození vzorce pro součet členů aritmetické posloupnosti

8.8.2017

Aritmetickou posloupností se nazývá taková posloupnost, pro kterou platí, že rozdíl dvou po sobě jdoucích členů je roven konstantě - označíme si ji d. Potom je zřejmé, že známe-li d a první člen posloupnosti $a_1$, potom pro libovolný člen posloupnosti $a_n$ platí:

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$ (1)

Součet $S_N$ prvních N členů této posloupnosti bude roven:

$$S_N = ∑↙{k=1}↖N (a_1 + (k-1)d)$$ (2)

Podobně jako v případě geometrické posloupnosti bychom chtěli součet $S_N$ vyjádřit pomocí jednoduchého výrazu obsahujícího $a_1$, $d$ a $N$. Za tím účelem se podíváme na vztah (2), který upravíme:

$$S_N = ∑↙{k=1}↖N a_1 + ∑↙{k=1}↖N ((k-1)d) = N a_1 + ∑↙{k=1}↖N (kd-d) = N a_1 + ∑↙{k=1}↖N kd - ∑↙{k=1}↖N d$$

Neboli:

$$S_N = N a_1 - Nd + d∑↙{k=1}↖N k$$ (3)

To je téměř to, co bychom potřebovali, jen nám tam "překáží" poslední člen se sumou $∑↙{k=1}↖N k$. Sčítají se tam všechna přirozená čísla od jedné do N (neboli je to součet prvních N členů aritmetické posloupnosti s prvním členem rovným jedné a d rovným též jedné). Co s tím? Zkusíme odvodit vzorec pro vyjádření tohoto součtu.

Pomůžeme si představou čtverce o straně délky k jednotek - čtverec tak bude složen z $k^2$ buněk o jednotkové ploše. Buňky rozdělíme do tří oblastí tak, jak je to barevně ukázáno na následujícím obrázku (kde je pochopitelně případ pro konkrétní hodnotu k=5). Bílá část tvořená diagonálou čtverce obsahuje k buněk. Počet buněk v červené i modré oblasti je stejný a je roven součtu (k-1) + (k-2) + ... + 2 + 1 neboli $∑↙{m=1}↖{k-1} m$.

Buňky ve čtverci můžeme rozdělit třeba i takto:

Nyní užitím prosté úvahy, že součet buněk v jednotlivých částech čtverce musí být roven počtu buněk celého čtverce, napíšeme:

$$k^2 = k + 2 ∑↙{m=1}↖{k-1} m$$ (4)

Neboli počet buněk ve čtverci $k^2$ je roven počet bílých buněk $k$ plus počet červených buněk plus počet modrých buněk. Protože je počet červených buněk stejný jako počet modrých buněk, je ve vzorci dvojnásobek tohoto počtu: $2 ∑↙{m=1}↖{k-1} m$.

Platnost vzorce (4) můžeme snadno ověřit na konkrétních případech malých hodnot k. To ovšem není důkazem jeho obecné platnosti pro libovolné k. Vzorec dokážeme matematickou indukcí a pro tento účel si ho rovnou upravíme do tvaru, ketrý se nám bude přímo hodit do vztahu (3). Jednak na levé straně budeme mít samotnou sumu a též v sumě chceme sčítat do $N$ a ne do $N-1$. Upravíme tedy (4) a $k$ nahradíme $k+1$:

$$∑↙{m=1}↖{k-1} m = {k^2 - k} / 2$$

$$∑↙{m=1}↖k m = {(k+1)^2 - (k+1)} / 2$$

$$∑↙{m=1}↖k m = {(k+1)k}/2$$ (5)

Vzorec (5) dokážeme pro $k=1$:

$$∑↙{m=1}↖1 m = {(1+1)1}/2$$

$1 = 1$

Nyní potřebujeme platnost vzorce (5) ověřit pro $k+1$, pokud platí pro $k$:

$$∑↙{m=1}↖{k+1} m = {((k+1)+1)(k+1)}/2$$

$$∑↙{m=1}↖k m + (k+1) = {(k+2)(k+1)}/2$$

$$∑↙{m=1}↖k m = {(k+2)(k+1)-2(k+1)}/2 = {(k+1)k}/2$$

Tímto jsme dokázali platnost (5) pro všechna přirozená $k$. Za sumu do vztahu (3) dosadíme výraz z (5) a budeme upravovat:

$$S_N = N a_1 - Nd + d{{(N+1)N}/2} = N a_1 + d {{(N+1)N-2N}/2} = N a_1 + {{N(N-1)}/2} d$$

Ze součtu vytkneme $N/2$:

$$S_N = {N/2} (2a_1 + (N-1)d) = {N/2} (a_1 + (a_1 + (N-1)d))$$

A tedy:

$$S_N = {N/2} (a_1 + a_N)$$