Vzdálenost bodu od přímky v rovině

26.6.2018

V rovině je přímka p daná rovnicí ax+by+c=0 a bod X o souřadnicích [m;n]. Úkol zní zjistit vzdálenost daného bodu a přímky. To je jistě triviální záležitost, vždyť na střední škole jsme se učili vzoreček, pomocí kterého se to snadno vypočítá. Pojďme se ale podívat na to, jak tento vzorec odvodit a to několika víceméně různými postupy. Cílem je ukázat, že problém je možné řešit různými způsoby, které vedou ke stejnému výsledku. Ovšem některé snadněji a rychleji než jiné.

Výpočet pomocí kolmé přímky

V tomto případě vezmeme přímku kolmou k p procházející bodem X a spočítáme vzdálenost průsečíku přímek a bodu X. Kolmou přímku vyjádříme parametricky, přičemž za směrový vektor vezmeme normálový vektor (a;b) přímky p. Máme tedy vyjádření kolmé přímky (t je parametr nabývající hodnot všech reálných čísel):

$x=m+at$

$y=n+bt$

Vypočítáme průsečík přímek, resp. hodnotu parametru t:

$am+a^2t+bn+b^2t+c=0$

$t=-{am+bn+c}/{a^2+b^2}$

Pokud průsečík označíme P, pak vzdálenost bodu X a průsečíku je rovna velikosti vektoru X-P. Vzdálenost označíme d=|X-P|:

$d^2=({-{am+bn+c}/{a^2+b^2}}a)^2+({-{am+bn+c}/{a^2+b^2}}b)^2={(am+bn+c)^2}{a^2+b^2}/{(a^2+b^2)^2}={(am+bn+c)^2}/{a^2+b^2}$

Odmocněním dostaneme:

$d={|am+bn+c|}/{√{a^2+b^2}}$

Výpočet pomocí hledání minima funkce vzdálenosti

Zvláštně znějící název říká, že vezmeme libovolný bod přímky p a zapíšeme vztah pro jeho vzdálenost od bodu X. Vlastně tak získáme funkci d, která libovolnému bodu na přímce přiřadí jeho vzdálenost k bodu X. Je zřejmé, že vzdálenost bodu od přímky bude minimem této funkce. Výpočet si zjednodušíme tak, že za funkci "vzdálenosti" vezmeme její druhou mocninu. Tuto funkci označíme D(A), kde A[x;y] je libovolný bod přímky (y vyjádříme pomocí x z obecné rovnice přímky):

$y=-{c+ax}/b$

$d^2=D=(x-m)^2+(-{c+ax}/b-n)^2$

Extrém funkce najdeme tak, že zjistíme, pro která x je její první derivace rovna nule. Pokud by to mělo být minimum, pak druhá derivace musí být větší než nula (je zřejmé, že najdeme pouze minimum, protože maxima funkce nenabývá - vzdálenost bodů přímky roste do nekonečna na obě strany od paty kolmice vedené z bodu X, ale i tak druhou derivaci spočítáme). Funkci D zderivujeme jednou i podruhé podle x, první derivaci porovnáme s nulou:

${dD}/{dx}=2(x-m)+2(-{c+ax}/b-n)(-a/b)$

${d^2D}/{dx^2}=2+2a^2/b^2>0$

$2(x-m)+2(-{c+ax}/b-n)(-a/b)=0$

$b^2x-b^2m+ac+a^2x+abn=0$

$x={b^2m-ac-abn}/{a^2+b^2}$

Získali jsme x-ovou souřadnici bodu přímky, který je nejblíže bodu X, neboli souřadnici bodu P v prvním způsobu řešení. Nyní dosadíme spočítané x do vztahu pro D a otravnými úpravami získáme finální vzorec:

$d^2=({b^2m-ac-abn-a^2m-b^2m}/{a^2+b^2})^2+({-ca^2-cb^2-amb^2+a^2c+a^2bn-nba^2-nb^3}/{b(a^2+b^2)})^2={a^2(am+bn+c)^2}/{(a^2+b^2)^2}+{b^2(am+bn+c)^2}/{(a^2+b^2)^2}=$

$=(am+bn+c)^2{a^2+b^2}/{(a^2+b^2)^2}=(am+bn+c)^2/{a^2+b^2}$

A tedy po odmocnění stejně jako v prvním případě:

$d={|am+bn+c|}/{√{a^2+b^2}}$

Výpočet pomocí posunutí a otočení

Myšlenka tohoto řešení spočívá v tom, že pokud přímku p a bod X otočíme tak, že x-ová osa splyne s přímkou p, pak bude y-ová souřadnice bodu X rovna vzdálenosti bodu od přímky. Podstatou tohoto řešení je to, že otáčení v rovině okolo počátku soustavy souřadnic zachová vzájemné vzdálenosti a úhly všech bodů. U tohoto způsobu řešení použijeme vztahy, které jsme si odvodili pro otočení v rovině.

Drobnou komplikací je, že přímka v obecném případě neprochází počátkem souřadnic a proto je třeba před otočením provést posunutí. Určíme průsečík přímky p s x-ovou osou:

$ax+c=0$

$x=-c/a$

Bod X tedy posuneme o $0-(-c/a)$ v x-ové souřadnici tak, že nové souřadnice budou:

$[m+c/a;n]$

Posunutí přímky řešit nemusíme, protože nás rovnice posunuté přímky nezajímá. Po posunutí a otočení splyne přímka p s x-ovou osou a bude mít rovnici y=0, to je vše, co nás zajímá.

Určíme úhel φ, o který je třeba bod a přímku pootočit. Je to úhel, který svírá přímka p s x-ovou osou. Připomeneme si, že přímka má normálový vektor (a;b) a za směrový vektor můžeme vzít například (b;-a) a píšeme:

$tg(φ)=-a/b$

$sin(φ)=-a/{√(a^2+b^2)}$

$cos(φ)=b/{√(a^2+b^2)}$

Jak jsem řekl, po otočení bude y-ová souřadnice bodu X rovna hledané vzdálenosti. Zajímá nás tedy pouze transformace y-ové souřadnice. Ještě vezmeme na vědomí, že o úhel φ budeme otáčet v záporném smyslu, proto do vzorce dosadíme -φ:

$y'=x*sin(-φ)+y*cos(-φ)$

$y'=d=(m+c/a){a/{√(a^2+b^2)}}+n{b/{√(a^2+b^2)}}={am+bn+c}/{√(a^2+b^2)}$

To je téměř správný výsledek. Jen je potřeba ještě uvážit, že může nastat situace, kdy bude bod X v takové poloze vůči přímce p, že po otočení se bude X nacházet pod x-ovou osou - bude mít tedy zápornou y-ovou souřadnici. Z toho důvodu je třeba do našeho vzorce dodat absolutní hodnotu, která zajistí, že vzdálenost bude nezáporné číslo:

$d={|am+bn+c|}/{√{a^2+b^2}}$