MATEMATIKA ELEKTRONIKA POČÍTAČE HRY OSOBNÍ KONTAKT

ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTIÚLOHYPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA VŠMATURITNÍ ZKOUŠKAPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA SŠNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLADOUČOVÁNÍPřidat úlohu

Procenta a jak na ně.

2.5.2018

Co je to procento

Přísně vzato pojem procento není nutnou součástí matematiky. Procenta se nejspíše používají z praktických důvodů - velmi názorně totiž popisují kvantitativní poměr části k celku nějakého objektu. Například se dočteme, že 1208718535 rostlinných druhů z celkového počtu 57143745654 je ohroženo vyhynutím (čísla jsem si vymyslel). Je to hodně nebo málo? Je to více než desetina nebo alespoň méně než polovina? Nevím, musel bych ta čísla vydělit a zjistit poměr. A vzal bych si na to kalkulačku, protože s tak velkými čísly neumím z hlavy rychle počítat a pravděpodobně udělám chybu. Něco jiného ale je, když v tom samém článku bude napsáno, že vyhynutím jsou ohrožena asi 2 % druhů. To už si představit umím - řeknu si totiž, že je to, jako by vyhynutím byly ohroženy dva druhy ze sta neboli každý padesátý.

Procenta a zlomky

Co znamená tvrzení, že $20 %$ žáků jisté školní třídy mělo na vysvědčení jedničku? Zápis $20 %$ v tomto případě říká, že poměr žáků s jedničkou ku celkovému počtu žáků ve třídě je stejný jako poměr $20$ ku $100$, čímž budeme rozumět zlomek $20/100$. A tedy:

${\text "počet žáků s jedničkami"}/{\text "celkový počet žáků"}=20/100$

Se zlomky samozřejmě umíme pracovat a víme, že je možné zlomky upravovat beze změny jejich hodnoty. Připomeneme si, že krácení zlomku znamená vydělení jeho čitatele i jmenovatele stejným číslem. Naopak rozšíření zlomku znamená vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem. Z tohoto důvodu má poměr $20$ ku $100$ nekonečný počet možných číselných vyjádření (máme k dispozici nekonečně mnoho čísel, kterými můžeme zlomek rozšířit nebo zkrátit). Například:

$20/100=5/25=60/300=1/5=120/600=4/20=...$ (1)

Dle (1) může být počet jedničkářů například 5 z 25 žáků nebo 4 z 20 žáků. Oba tyto konkrétní případy (vybrané z nekonečně monoha dalších) splňují poměr $20$ ku $100$. Neboli:

${\text "počet žáků s jedničkami"}/{\text "celkový počet žáků"}=20/100=5/25=4/20$

Jak počítat s procenty

Základem při počítání je již zmíněná rovnost poměrů:

Při řešení úloh užíváme tohoto vztahu, do kterého dosadíme známé hodnoty a spočítáme, co potřebujeme. Až budeme mít více zkušeností, vzorec nebudeme potřebovat - přepočty nám půjdou "samy". Například bez počítání budeme vědět, že $50 %$ znamená $1/2$, protože $50/100=1/2$. A podobně $3/4$ je $75 %$, protože ${3/4}*100=3*{100/4}=3*25=75$.

Tři základní typy úloh s procenty

V těchto úlohách počítáme vždy jednu neznámou hodnotu ve vzorci (2).

První typ úlohy: Při fotbalovém utkání má v jedné části zápasu 6 hráčů na dresu číslo menší než 15. Kolik procent hráčů má takovýto dres?

Řešení prvního typu úlohy: Na hřišti je během zápasu obvykle celkem 22 hráčů - toto číslo není v zadání úlohy zmíněno, protože se předpokládá, že je to všeobecně známá skutečnost. Číslo 22 tedy představuje celek v rovnici (2). Část je potom těch 6 speciálně vybraných hráčů. Stačí dosadit a počítat:

Odpověď zní, že na hřišti je 27.27 % hráčů s číslem dresu menším než 15.

Druhý typ úlohy: Víme, že v nějaké zemi jezdí celkem 6 milionů automobilů, přičemž 72% z nich používá jako palivo benzín. Kolik je aut, která jezdí na benzín?

Řešení druhého typu úlohy: Máme tu celek, který tvoří 6 milionů aut. Dále známe procenta. Dosadíme do vzorce:

Výsledkem je odpověď, že na benzín jezdí 4320000 aut.

Třetí typ úlohy: Jistý farmář zjistil, že mu v sadu pomrzlo 185 jabloní, což představuje 37% celkového počtu jabloní v jeho sadu. O kolik jabloní se farmář celkem stará?

Řešení třetího typu úlohy: Nezbývá než dosadit do vzorce:

Dověděli jsme se, že v sadu je celkem 500 jabloní.

Počítání s přírůstky

Zde se poměr přepočtený na setiny týká změny velikosti nějaké hodnoty vůči její původní velikosti:

Opět se zde objevují úlohy na hledání jedné ze tří hodnot (část, celek, procenta).

Ukázková úloha: V jistém obchodě došlo ke zdražení chleba o 5 %, přičemž nyní chleba stojí 30 Kč. Kolik stál chleba před zdražením?

Řešení: Dosadíme do vzorce (4) a upravujeme:

Už jen doupravíme zlomek:

Vidíme, že cena chleba před zdražením byla přibližně 28 Kč.

Jiný pohled na úlohy typu zdražování a slevy.

A co promile nebo ppm?

Za malou zmínku možná stojí, že do stejného pytle s procenty patří pojmy promile (‰) a ppm (zkratka znamená parts per milion - částí na milion). Zatímco u promilí jde o přepočet poměru na celek tvořený tisícem, tak ppm se vztahuje na celek dělený na milion částí. Z toho také plynou převodní vztahy: