Odvození rovnice hyperboly

18.7.2018

Hyperbola je křivka v rovině, pro jejíž body platí, že absolutní hodnota rozdílu jejich vzdáleností od dvou různých pevně daných bodů je rovna konstantě.

Pevně dané body označíme A a B, jejich vzdálenost H. Pevně daná hodnota, které se má rovnat absolutní hodnota rozdílu vzdáleností, bude značena D.

Krátkou úvahou zjistíme, že musí platit D<H. To proto, že pokud uvažujeme postup konstrukce, kdy body hyperboly konstruujeme jako průniky dvou kružnic se středy v bodech A a B o poloměrech, jejichž absolutní hodnota rozdílu je rovna D, tak dojdeme k následujícímu závěru. Pokud D>H, potom menší kružnice leží uvnitř větší, aniž mají společný bod - hyperbolu nelze sestrojit. V případě D=H bude opět menší kružnice ležet uvnitř větší, ale budou se dotýkat v jednom bodě - výsledkem bude množina všech bodů přímky proložené body A a B vyjma bodů úsečky AB. A nakonec, pokud D<H, kružnice se protnou a jejich průsečíky budou body hyperboly. Ono, přísně vzato, uvedené definici hyperboly vyhovuje i podmínka D=H, protože množina bodů je nenulová - ale body na polopřímkách asi za hyperbolu nepovažujeme.

Na obrázku níže jsou zobrazeny dva libovolné body v rovině a červenou přerušovanou čarou je naznačena zvolená hodnota D.

Souřadnou soustavu zvolme tak, že x-ová osa prochází body A a B a y-ová osa prochází středem úsečky AB. Souřadnice bodů budou A[-H/2;0], B[H/2;0], libovolný bod v rovině bude mít souřadnice X[x;y].

Podle definice hyperboly má platit:

$||AX|-|BX||=D$

Dosadíme a upravujeme:

$|√{(x+H/2)^2+y^2}-√{(x-H/2)^2+y^2}|=D$

$(2x^2+2y^2+H^2/2-D^2)^2=4[(x+H/2)^2+y^2][(x-H/2)^2+y^2]$

$D^4+4x^2H^2-4x^2D^2-H^2D^2-4y^2D^2=0$

$(4H^2-4D^2)x^2-4D^2y^2+D^4-H^2D^2=0$ (1)

Vztah (1) je hledanou rovnicí hyperboly. Vyhovuje všem bodům v rovině, které splňují požadované vlastnosti. Rovnice obsahuje pouze zadané hodnoty: H je vzdálenost libovolně zvolených bodů A a B, a D je zvolená hodnota, které se měly rovnat absolutní hodnoty rozdílů vzdáleností.

Za zmínku jistě stojí skutečnost, že rovnice (1) je naprosto totožná s rovnicí elipsy. Rozdíl je pouze v tom, že u elipsy platí D>H, kdežto u hyperboly D<H.

Rovnici uvedeme do podoby, jak ji běžne známe. Body A a B se nazývají ohniska a značívají se například F1, F2 nebo F, G. Vzájemná vzdálenost ohnisek se obvykle značí 2e - moje označení H tedy odpovídá 2e. Absolutní hodnota rozdílu vzdáleností se značí 2a a odpovídá tak mému D. Upravíme (1) tak, aby byla na pravé straně jednička, provedeme záměnu symbolů a drobně upravíme:

$x^2/{D^2/4}-y^2/{{H^2-D^2}/4}=1$

$H=2e$

$D=2a$

$x^2/a^2-y^2/{e^2-a^2}=1$ (2)

Teď se budeme chvíli věnovat pojmu asymptota hyperboly. Je to přímka, ke které se hyperbola neomezeně blíží, ale nemají společné body. K určení rovnice asymptoty užijeme matematickou analýzu. Prvním krokem bude to, že hyperbolu - přesněji jednu její část - vyjádříme jako funkci proměnné x neboli ze vztahu (2) "vypreparujeme" y:

$y=√{(e^2-a^2)({1/a^2}x^2-1)}$

Dále se zamyslíme nad tím, co znamená tvrzení, že se hyperbola a asymptota neomezeně přibližují. Mělo by to znamenat, že v limitě pro x jdoucí do plus nekonečna (vzhledem k symetrii se stačí zabývat jedním případem) se bude podíl $y/x$ souřadnic hyperboly rovnat směrnici asymptoty. (Jinak řečeno - a to nepřesně - "v nekonečnu" se hyperbola a asymptota jakoby setkají a proto souřadnice bodu hyperboly v nekonečnu budou zároveň souřadnicemi bodu asymptoty.) Určíme tedy tuto limitu:

${lim}↙{x→∞}{y/x}={lim}↙{x→∞}{√{(e^2-a^2)({1/a^2}x^2-1)}}/x=√{e^2-a^2}{lim}↙{x→∞}{√{{1/a^2}-{1/x^2}}}={√{e^2-a^2}}/a$ (3)

Vzhledem k symetrii asymptota prochází počátkem souřadnic a užitím výrazu (3) pro směrnici má rovnici:

$y={{√{e^2-a^2}}/a}x$ (4)

Nyní se podíváme na bod hyperboly ležící na x-ové ose. Pro jeho souřadnice [x;0] platí:

$||x+e|-|x-e||=2a$

$|2x|=2a$ pro x∈(-e;e)

$x=a$ pro x∈(0;e)

Tento bod má tedy souřadnice [a;0] a nazývá se vrchol hyperboly. Pokud x-ovou souřadnici tohoto bodu dosadíme do rovnice asymptoty (4), získáme y-ovou souřadnici jednoho jejího bodu:

$y={{√{e^2-a^2}}/a}a=√{e^2-a^2}$

Y-ová souřadnice tohoto bodu se značí b a říká se jí velikost vedlejší polosy hyperboly:

$b=√{e^2-a^2}$ (5)

Dosazením (5) do (4) získáme známý tvar rovnice asymptoty:

$y={b/a}x$

Dosazením (5) do (2) dostaneme obvyklý tvar rovnice hyperboly:

$x^2/a^2-y^2/b^2=1$