ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTIÚLOHYPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA VŠMATURITNÍ ZKOUŠKAPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA SŠNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLADOUČOVÁNÍPřidat úlohuPřidat řešení úlohyPřidat komentář
Koberec
Ladislav Veiner, 17.03.2018 23:03
Vzácný koberec má rozměry 8.3 m x 6.7 m, a tloušťku 1.2 cm. Koberec se má srolovat, aby ho bylo možné převézt na jiné místo. Požadujeme, aby sbalený koberec zabíral co nejméně místa. Zároveň víme, že aby se koberec nepoškodil, nesmí být průměr stočení koberce menší než 17 cm. Jaké rozměry bude mít koberec po srolování?
Přidat řešení úlohy Přidat komentář
Řešení číslo 1, Ladislav Veiner, 28.03.2018 18:07
Vzhledem k tomu, že se jedná o matematickou úlohu, tak při řešení zanedbáme některé věci. Jednak materiál, ze kterého by byl utkán reálný koberec, by se při zatížení "zmáčkl" nebo jinak deformoval. Při řešení považujeme tloušťku koberce za konstantní. Pokud srolujeme reálný koberec, bude při pohledu z čela (ve směru osy, okolo které je stočen) vypadat přibližně jako na obrázku vlevo. Kdežto my budeme vycházet z modelu, který je zobrazen vpravo. Neboli stočený koberec považujeme za množinu navazujících mezikruží.
Natažený koberec má tvar kvádru. Označíme si jeho strany $a = 8.3 m$, $b = 6.7 m$. Tloušťku koberce označíme $t = 1.2 cm$.
Požadavek na minimální průměr a na minimum zabíraného prostoru znamená, že první závin koberce musí mít požadovaný průměr oněch $17 cm$. Označíme si polovinu této hodnoty neboli poloměr $R = 8.5 cm$. Taktéž víme, že koberec budeme stáčet tak, že rolovat se bude delší strana koberce. Výsledná délka koberce tedy bude $6.7 m$. Zbývá určit druhý rozměr stočeného koberce.
Víme, že první závit bude mít poloměr $8.5 cm$. Každým dalším závitem se poloměr zvětší o tloušťku koberce. V úvodu jsem zmínil, že stočený koberec považujeme za navazující mezikruží - to znamená, že délka koberce $a$ se rovná součtu délek (obvodů) těchto mezikruží. Přičemž poslední mezikruží (nejvzdálenější od středu) nemusí opsat celých 360°. Na základě těchto informací a znalosti vzorce pro obvod kruhu, zapíšeme rovnici, která bude vyjadřovat zmíněnou rovnost:
$a = 2πR + 2π(R + t) + 2π(R + 2t) + ... + 2π(R + Mt) + z$
$z$ označuje zbytek neboli délku posledního mezikruží, které není kompletní ($z$ bude samozřejmě rovno nule v případě, že koberec "opíše" pouze celé otáčky). Přehodíme si ho na chvíli na levou stranu:
$a - z = 2πR + 2π(R + t) + 2π(R + 2t) + ... + 2π(R + Mt)$
Nyní je výraz na pravé straně rovnice součet aritmetické posloupnosti. Diference této posloupnosti je $2πt$. Kdo nevěří, ať si spočte rozdíl k-tého a (k-1)ního členu:
$2π(R + kt) - 2π(R + (k-1)t) = 2πR - 2πR + 2πkt - 2πkt + 2πt = 2πt$
Pro usnadnění výpočtu si zavedeme proměnnou $N = M + 1$, která značí počet celých otáček koberce a upravujeme:
$a - z = 2πR + 2π(R + t) + 2π(R + 2t) + ... + 2π(R + (N-1)t)$
$a - z = 2π[R + (R + t) + (R + 2t) + ... + (R + (N-1)t)]$
Použijeme vzorec pro součet prvních N členů aritmetické posloupnosti.
$a - z = 2π{N/2}{(R + R + Nt - t)}$
$a - z = πN(2R + Nt - t)$
$πtN^2 + π(2R - t)N - a = -z$
Máme dvě neznámé $N$ a $z$ a takovou rovnici neumíme vyřešit. Ale můžeme se zbavit proměnné $z$ tak, že ji položíme rovnou nule. Neboli budeme se tvářit, že konec koberce skončil ve stejném úhlu jako jeho začátek (všechny závity jsou kompletní $360°$), což ovšem nemusí být pravda - důsledkem toho bude, že $N$ z rovnice pravděpodobně nevyjde jako celé číslo. V tom případě se bude počet celých otáček rovnat největšímu celému číslu menšímu nebo rovnému $N$.
Položíme tedy $z$ rovno nule, dosadíme hodnoty za $R$ a $t$ (ve stejných jednotkách - zvolil jsem centimetry) a řešíme kvadratickou rovnici pro neznámou $N$:
$π1.2N^2 + π15.8N - 830 = 0$
$N = {-π15.8 ± √{(249.64π^2 + π3984)}}/{2.4π}$
Zajímá nás samozřejmě pouze kladná hodnota:
$N ≈ 9.6$
Zjistili jsme, že koberec je namotaný devíti celými otáčkami plus nějaký zbytek. Podíváme se, jestli zbytek koberce dá více než polovinu celé otáčky. K tomu potřebujeme znát délku koberce namotanou devíti otáčkami ($s_9$) a obvod celé desáté otáčky ($o_10$):
$s_9 = π9(2R + 8t)$
$o_10 = 2π(R + 9t)$
Spočítáme poměr ${a - s_9}/o_10$:
${{830 - 752.097}/121.266} ≈ 0.64$
To znamená, že zbytek koberce dá zhruba 64% celé otáčky a přidá tak k příčnému rozměru koberce dvojnásobek jeho tloušťky. Zbývá spočítat tento rozměr, který označíme $D$.
$D = 2(R + 8t) + 2t = 2R + 18t = 38.6 cm$
$2R$ je průměr prvního závitu.
$2*8t$ je příspěvek dalších celých osmi otáček.
Rozměr $2t$ přidá poslední závit, který sice není kompletní, ale dá více než 180° a tudíž k výslednému maximálnímu průměru přispěje na obou stranách pomyslného válce.
Závěr tedy zní, že koberec má po stočení rozměry válce o výšce 6.7 metru a průměru podstavy (v maximu) 38.6 centimetru.
Přečtěte si více o součtu aritmetické posloupnosti.