ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTIÚLOHYPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA VŠMATURITNÍ ZKOUŠKAPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA SŠNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLADOUČOVÁNÍPřidat úlohuPřidat řešení úlohyPřidat komentář
Spotřeba paliva
Ladislav Veiner, 29.12.2018 19:22
Mějme auto, u kterého je závislost okamžité spotřeby paliva na rychlosti dána vztahem $S=3/{10^4}(v-2)^2+4$, kde $S$ je spotřeba v litrech na $100$ kilometrů a $v$ je rychlost v kilometrech za hodinu - viz. obrázek pro ilustraci vztahu. (Uvedenou závislost jsem si vymyslel. Skutečná okamžitá spotřeba paliva je ovlivněna vícero faktory komplikovaným způsobem.)
Za podmínky, že se auto pohybuje konstantní rychlostí (za ideálních podmínek - po rovině, bez odporu prostředí, ...), určete:
1) Na jak dlouhý čas vystačí 1 litr paliva při rychlosti 65 km/h?
2) Kolik korun stojí jedna minuta jízdy rychlostí 140 km/h? Uvažujte cenu paliva 35 Kč za 1 litr.
3) Určete rychlost, při které je hodnota spotřeby v jednotkách metr krychlový na 100 kilometrů jednou třítisícinou hodnoty rychlosti v jednotkách metr za sekundu.
Přidat řešení úlohy Přidat komentář
Řešení číslo 1, Ladislav Veiner, 03.01.2019 19:32
1)
Při rychlosti $65$ $km$$/$$h$, bude spotřeba:
$S=3/{10^4}(65-2)^2+4=5.1907$ $l$$/$$100$ $km$
Jeden litr paliva se spotřebuje po ujetí vzdálenosti:
$s=100/5.1907≐19.2652$ $km$
Konstantní rychlostí $65$ $km$$/$$h$ trvá ujetí této vzdálenosti čas:
$t=s/v={100/5.1907}/65≐0.29639$ $h≐0.29639*60$ $m≐17.78328$ $m≐17$ $m$ $0.78328*60$ $s≐17$ $m$ $46.99704$ $s$.
Jeden litr paliva vystačí asi na $17$ minut a $47$ sekund.
2)
Spotřeba při rychlosti $140$ $km$$/$$h$ činí:
$S=3/{10^4}(140-2)^2+4=9.7132$ $l$$/$$100$ $km$
Za jednu minutu se ujede vzdálenost:
$s=v*t=140{1/60}$ $km≐2.3333$ $km$
Na ujetí této vzdálenosti se spotřebuje objem paliva:
$V=9.7132{2.3333/100}$ $l≐0.22664$ $l$
Při ceně $35$ $Kč$$/$$l$ bude jedna minuta jízdy stát:
$C=35*0.22664$ $Kč≐7.9325 Kč$
Minuta jízdy při rychlosti $140$ $km$$/$$h$ tedy stojí přibližně $8$ Korun.
3)
Jelikož víme, že $1$ $l=1$ $dm^3=1/{1000}$ $m^3$, tak snadno upravíme vzorec pro spotřebu na jednotky $m^3$$/$$100$ $km$:
$${1/1000}[3/{10^4}(v-2)^2+4]$$
Teď vyjádříme jednu třítisícinu rychlosti v metrech za sekundu ($v$ značí rychlost v kilometrech za hodinu stejně jako ve vzorci výše):
$${1/3000}v{1000/3600}$$
Nyní tyto dva výrazy porovnáme a postupnými úpravami rovnosti určíme $v$:
$${1/1000}[3/{10^4}(v-2)^2+4]={1/3000}v{1000/3600}$$
$$3(v-2)^2+40000={25000/27}v$$
$$81v^2-25324v+1080000=0$$
$$v_{12}={25324±17070.00223}/162$$
Podmínce vyhovují dvě hodnoty rychlosti $50.95$ $km$$/$$h$ a $261.69$ $km$$/$$h$.
Komentář číslo 1, Ladislav Veiner, 02.01.2019 11:10
Význam konstant ve vztahu $S=3/{10^4}(v-2)^2+4$ pro závislost spotřeby na rychlosti může být následující.
Pokud je rychlost rovna $2$ $km$ $/$ $h$, pak je spotřeba rovna $4$ $l$ $/$ $100$ $km$, protože $3/{10^4}(2-2)^2+4=4$. Můžeme tedy usoudit, že:
1) Konstanta $2$ může znamenat rychlost a tudíž její jednotka je $km$ $/$ $h$.
2) Konstanta $4$ bude mít jednotku spotřeby $l$ $/$ $100$ $km$.
3) Aby souhlasily jednotky v celém vztahu, musí mít konstanta $3/{10^4}=0.0003$ jednotku $(h^2$ $/$ $km^2)$ $(l$ $/$ $100$ $km)$.