ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTIÚLOHYPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA VŠMATURITNÍ ZKOUŠKAPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA SŠNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLADOUČOVÁNÍPřidat úlohu
Řešené úlohy testu přijímací zkoušky z matematiky na FIM UHK 2019
1.6.2020
V tomto textu projdu test přijímacích zkoušek z matematiky na Fakultu informatiky a managementu Univerzity Hradec Králové.
Fakulta tato zadání zveřejňuje na stránkách s informacemi o přijímacím řízení. Zadání je k dispozici ve formě PDF souboru - netuším ovšem, jak je to s autorskými právy. Proto zde zadání nebudu uvádět a pouze poskytnu webový odkaz na dané PDFko: vzorový test je zde.
Zadání jsou ve formě testů, kdy ke každé úloze je 5 možných odpovědí, ze kterých je pouze jedna správná. Poskytované zadání obsahuje pouze správné odpovědi na otázky, ale už ne popis řešení.
Řešení úloh: U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10 U11 U12 U13 U14 U15 U16 U17 U18 U19 U20
Úloha 1
Výrok říká "vypočítal jsem méně než jeden úkol". Opakem tohoto výroku je tvrzení "vypočítal jsem počet úkolů větší nebo roven jedné".
Úloha 2
$48$ studentů nesložilo zkoušku z angličtiny a z nich $16$ neuspělo ani v matematice. Obdobně $60$ studentů neuspělo v matematice a z nich $16$ nezvládlo angličtinu. U zkoušek (z matematiky a/nebo angličtiny) celkem neuspělo:
$$(48-16)+(60-16)+16=108-16=92$$
Obě zkoušky tedy zvládlo:
$$180-92=88$$
Úloha 3
Nejprve vyřeším nerovnici. Výraz s absolutní hodnotou bude roven pěti, když $x$ bude rovno $-2$ nebo $8$. A bude menší nebo rovno pěti pouze pro $x$ mezi těmito dvěma čísly. Máme tedy:
$$A=⟨-2;8⟩$$
Všichni přirození dělitélé čísla $20$ tvoří množinu:
$$B=D_{20}=\{1,2,4,5,10,20\}$$
Pro průnik množin tedy máme:
$$A∩B=\{1,2,4,5\}$$
Úloha 4
Pokud si nejsem jistý sčítáním v jiné číselné soustavě, pak můžu, pokud to umím, použít delší způsob. Ten spočívá v převedení čísel do desítkové soustavy, jejich součet a následný převod do dvojkové soustavy. Ukážeme si oba způsoby.
1010
101
110
-----
10101
Sečetl jsem příslušné číslice daného řádu, zapsal zbytek po dělení dvěma do výsledku a zapamatoval si výsledek dělení pro další krok. V dalším koroku opět sečtu číslice, přičtu k nim číslo z minulého kroku a dále už pokračuju stejně.
$$1010_2=8+0+2+0=10$$
$$101_2=4+0+1=5$$
$$110_2=4+2+0=6$$
$$10+5+6=21$$
$$21=16+0+4+0+1=10101_2$$
Úloha 5
Kdo si nepamatuje vzoreček pro třetí mocninu dvoučlenu, stejně jako já, tak spočítá druhou mocninu a po té násobí znovu:
$${(2-√3)}^2=4-4√3+3=7-4√3$$
$${(2-√3)}^3={(2-√3)}^2*(2-√3)=(7-4√3)*(2-√3)=14+12-15√3=26-15√3$$
Úloha 6
Logaritmus je definován pouze pro kladná čísla, a tak dostávám podmínku $x>0$. Dále ve jmenovateli nesmí být nula, to znamená:
$$2-{log}_3(x)=0$$
$${log}_3(x)=2$$
$$x=3^2=9$$
Mám tedy dvě podmínky $x>0$ a $x≠9$. Definičním oborem funkce $f$ jsou tedy všechna kladná čísla s výjimkou čísla $9$.
Úloha 7
Pod druhou odmocninou může být pouze nezáporné číslo, řešení má tedy smysl pouze pro $x≥3$. Obě strany umocníme a řešíme rovnici:
$$x-3=25-10x+x^2$$
$$x^2-11x+28=0$$
$$x_1=4$$
$$x_2=7$$
Druhá odmocnina z nezáporného čísla je opět nezáporné číslo, a proto vyhovuje pouze řešení $x=4$. (Zkouškou pro $x=7$ dostanu $L=2$, $P=-2$, a tedy $L≠P$.)
Úloha 8
Původní cenu označím $x$. Zdražení o $20%$ znamená násobení číslem $1.2=12/10=6/5$. Zlevnění o $1/4$ znamená násobení $3/4$:
$$x*6/5*3/4=x*9/10=0.9*x$$
Výsledným efektem tedy je zlevnění o $10%$ (na 90% původní ceny).
Úloha 9
Druhou rovnici vynásobím $(-3)$ a rovnice sečtu:
$$px-3x(p-2)=-11$$
$$x(p-3p+6)=-11$$
$$x=11/{2p-6}$$
Dělení nulou je nepřípustné a tedy pro $p=3$ nemá soustava žádné řešení. Řešení naopak existuje pro všechny reálné hodnoty $p$ kromě čísla $3$.
Úloha 10
$$2^{x+1}<2^{2*(-x+3)}$$
$$2^{x+1}<2^{-2x+6}$$
$$x+1<-2x+6$$
$$3x<5$$
$$x<5/3$$
Úloha 11
Logaritmus je definován pouze pro kladná čísla, tzn. že řešení má smysl pouze pro $x>1$. Úpravou a odlogaritmováním rovnice dostanu:
$$log[x*(x-1)]=log(4x)$$
$$x*(x-1)=4x$$
$$x^2-5x=0$$
$$x(x-5)=0$$
Řešením je pouze $x=5$.
Úloha 12
Řešením rovnice získám:
$$sin(x)=-1$$
To znamená, že řešením je $270°$ neboli $270°*π/180°=3/2π$.
Úloha 13
Dle zadání dosadím $x=2$, $y=5$ a spočítám $p$.
$$5=2p-3/{2+1}$$
$$5=2p-1$$
$$p=3$$
Úloha 14
Dané vztahy mezi členy aritmetické posloupnosti přepíšu pomocí $a_1$ a diference $d$:
$$2a_1+2d=-4$$
$$2a_1+7d=-9$$
Řešním soustavy rovnic získám:
$$a_1=-1$$
$$d=-1$$
Součet prvních tří členů tedy je:
$$s_3=3a_1+3d=-3-3=-6$$
Úloha 15
V geometrické posloupnosti platí, že podíl dvou po sobě následujících členů je konstantní. Vyjádříme rovnost těchto podílů pro zadaná čísla a následným řešením rovnice určíme hodnotu čísla $p$.
$${17+p}/{3+p}={59+p}/{17+p}$$
$$289+34p+p^2=177+62p+p^2$$
$$28p=112$$
$$p=4$$
Úloha 16
Stačí rovnici přímky, resp. její pravou stranu, vynásobit mínus jedničkou. Tím pádem se to, co bylo dole, dostane nahoru (nad osu $x$ do stejné vzálenosti) a naopak.
$$y=-(x+1)=-x-1$$
Úloha 17
$${(x+3)}^2+{(y-5)}^2=5^2$$
$$x^2+y^2+6x-10y+9=0$$
Úloha 18
Vybírám tři chlapce z deseti a k nim tři dívky z dvanácti.
$$(\table \10; \3)*(\table \12; \3)={10!}/{3!*7!}*{12!}/{3!*9!}={8*9*10}/6*{10*11*12}/6=8*3*5*5*11*4=120*220=26400$$
Úloha 19
Počet stromů v sadu označím $S$. Zapíšeme rovnicí to, co je uvedené v zadání, a rovnici vyřešíme.
$$S/4=S/3-5$$
$$3S=4S-60$$
$$S=60$$
Úloha 20
Strany trojúhelníku označím $a, b, c$, přičemž $c$ je přepona. Ze zadání víme, že platí $a=b$. Počítám:
$$32={a^2}/2$$
$$a=8$$
$$c=√{64+64}=√{64*2}=√{64}*√{2}=8√{2}$$
$$o=2*8+8√{2}=8*(2+√{2})$$