Řez kužele rovinou rovnoběžnou s osou kužele

5.7.2018

Řezy kužele jsem diskutoval v textu Řezy kužele - kružnice, elipsa, hyperbola, parabola. Zde se chci podívat na speciální případ, který tam probírán nebyl. Podívejme se na obrázek:

Souřadnou soustavu jsem zavedl tak, že x-ová osa splývá s osou kužele, rovina YZ splývá s podstavou kužele, přičemž z-ová osa je vodorovná a y-ová osa směřuje kolmo k obrazovce/papíru. Pokud je výška kužele H, poloměr podstavy R, pak v souladu se zavedeným označením a odkazovaným článkem, má rovnice kuželové plochy rovnici:

$y^2+z^2=R^2(1-x/H)^2$ (1)

Rovina, která projde kuželem je rovnoběžná s rovinou XY a je od ní vzdálená o nenulovou konstantu C, takže má rovnici:

$z=C$ (2)

Dosazením (2) do (1) získáme rovnici křivky tvořící průnik roviny a kuželové plochy, kterou budeme upravovat (pamatujeme na to, že C je různé od nuly a můžeme jím dělit):

$y^2+C^2=R^2(1-x/H)^2$

$H^2y^2+H^2C^2=R^2(H-x)^2$

$(H-x)^2/H^2-y^2/R^2=C^2/R^2$

$(x-H)^2/({CH}/R)^2-y^2/C^2=1$

Obdrželi jsme vztah, který má tvar rovnice hyperboly s hlavní osou splývající s x-ovou osou a se středem v bodě [H;0]. Pro hodnoty velikosti hlavní poloosy a, vedlejší poloosy b a parametru e ze získaného vztahu máme:

$a={CH}/R$

$b=C$

$e^2=({CH}/R)^2+C^2=C^2(1+H^2/R^2)$

$e=C√{1+H^2/R^2}$

Můžeme určit i směrnici asymptot hyperboly:

$tg(φ)=b/a=R/H$