ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTIÚLOHYPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA VŠMATURITNÍ ZKOUŠKAPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA SŠNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLADOUČOVÁNÍPřidat úlohu
Řezy kužele - kružnice, elipsa, hyperbola, parabola
4.7.2018
Na střední škole jsme se učili, že kružnice, elipsa, hyperbola a parabola jsou křivky, které vzniknou jako průniky pláště kužele a roviny. V tomto textu chci ukázat, že rovnice popisující průnik kužele a roviny jsou právě rovnice kuželoseček. Přesněji řečeno, nejde o průnik kužele, ale pouze jeho pláště. A ještě přesněji, to co v celém textu budu nazývat plášť kužele, se správně jmenuje kruhová kuželová plocha.
V textu prodiskutuju všechny kuželosečky, které vzniknou řezem kuželové plochy, a to téměř v plné obecnosti. K úplné obecnosti bude chybět případ, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele, který popisuju v textu Řez kužele rovinou rovnoběžnou s osou kužele.
Kružnice
Kružnice je množina všech bodů v rovině, které mají od daného bodu (zvaného střed) konstantní vzdálenost (zvanou poloměr r). Budeme chtít ukázat, že kružnice vznikne průnikem pláště kužele a roviny rovnoběžné s podstavou. Rovnice kružnice se středem v počátku souřadnic je:
$x^2+y^2=r^2$ (1)
Elipsa
Elipsa je množina všech bodů v rovině, které mají konstantní součet vzdáleností od dvou pevně daných bodů (zvaných ohniska) označovaný jako 2a. Elipsa je jednoznačně popsána dvěma ze tří parametrů a (délka hlavní poloosy), b (délka vedlejší poloosy) a e (vzdálenost ohniska od středu), mezi nimiž platí vztah $a^2-b^2=e^2$. Ukážeme, že elipsa vznikne průnikem pláště kužele a roviny, která svírá s podstavou kužele úhel větší než nula a menší než úhel, který svírá podstava s pláštěm kužele. Rovnice elipsy se středem v počátku souřadnic a hlavní poloosou splývající s x-ovou osou je:
$x^2/a^2+y^2/b^2=1$ (2)
Hyperbola
Hyperbola je množina všech bodů v rovině, které mají konstantní rozdíl vzdáleností od dvou pevně daných bodů (zvaných ohniska) označovaný jako 2a. Hyperbola je jednoznačně popsána dvěma ze tří parametrů a (délka hlavní poloosy), b (délka vedlejší poloosy) a e (vzdálenost ohniska od středu), mezi nimiž platí vztah $a^2+b^2=e^2$. Ukážeme, že hyperbola vznikne průnikem pláště kužele a roviny, která svírá s podstavou kužele větší úhel než je ten, který svírá podstava s pláštěm kužele, a menší než π/2. Rovnice hyperboly se středem v počátku souřadnic a hlavní poloosou splývající s x-ovou osou je:
$x^2/a^2-y^2/b^2=1$ (3)
Parabola
Parabola je množina všech bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od pevného bodu (zvaného ohnisko) a přímky (zvané řídící), přičemž bod neleží na přímce. Parametrem jednoznačně určujícím parabolu je vzdálenost ohniska od řídící přímky značená p. Ukážeme, že parabola vznikne průnikem pláště kužele a roviny, která svírá s podstavou kužele stejný úhel, jako je mezi podstavou a pláštěm. Rovnice paraboly s osou splývající s x-ovou osou a vrcholem v počátku souřadnic je:
$x=y^2/{2p}$ (4)
Kužel
Parametry kužele jsou poloměr podstavy R a výška H. Pořebujeme najít vztah, který jednoznačně určí, které body prostoru leží na plášti kužele. Na obrázku níže, který zobrazuje pohled na kužel ze strany, je zobrazen bod X na plášti, který má od podstavy vzdálenost h a od osy vzdálenost r.
Pokud označíme úhel, který svírá plášť s podstavou α, pak mezi hodnotami α, H, R, h a r platí vztah:
$tg(α)=H/R=h/{R-r}$
$r=R(1-h/H)$
$r^2=R^2(1-h/H)^2$ (5)
Vztah (5) považujeme za rovnici pláště kužele. Všimneme si dvou věcí. Jednak plášť kužele o poloměru podstavy R a výšce H popisuje vztah (5) pouze v rozsahu hodnot h od nuly do H. Nic ale nebrání tomu do vztahu dosadit hodnoty mimo tento rozsah. V takovém případě rovnice popisuje dva nekonečně vysoké kuželové pláště, které se dotýkají svými vrcholy (viz. obrázek dole). To ničemu nevadí, ba přímo se to hodí k určení rovnice hyperboly. Můžeme zkusit dosadit třeba hodnotu h=2H a dostaneme $r^2=R^2$ neboli stejnou hodnotu jakoby h bylo rovno nule.
Druhá věc, kterou chci zmínit, je ta, že pokud v rovině podstavy kužele zavedeme kartézské souřadnice (označím je a a b), pak platí $a^2+b^2=r^2$ a vztah (5) přejde na:
$a^2+b^2=R^2(1-h/H)^2$ (6)
Máme rovnici kuželové plochy a teď potřebujeme zjistit její průnik s rovinou v nějaké obecné poloze. Udělám to ale obráceně, natočím kužel do nějaké polohy a průnik udělám s rovinou o rovnici z=0 neboli rovinou, ve které bude ležet x-ová a y-ová osa. Kužel se bude otáčet okolo y-ové osy a počátek souřadné soustavy bude ležet na ose kužele. Na obrázku je x-ová osa vodorovná, z-ová osa svislá a y-ová osa kolmá k obrazovce/papíru.
Kužel se tedy otáčí o úhel φ v rozmezí od 0 do π/2. Při φ=0 je osa kužele totožná se z-ovou osou, při φ=π/2 splyne s x-ovou osou. Při otáčení okolo y-ové osy můžu použít vzorce pro otáčení v rovině, protože y-ová souřadnice se nebude měnit. Souřadnice spojené s otáčejícím se kuželem jsou a, b a h, a "pevné" souřadnice jsou x, y a z. Vzdálenost podstavy kužele od počátku souřadnic označím D (tato hodnota je konstantní, protože se kužel otáčí okolo počátku souřadnic, který leží na ose kužele). Převodní vztahy mezi souřadnicemi potom budou:
$x=a*cos(φ)+(h-D)*sin(φ)$
$y=b$
$z=-a*sin(φ)+(h-D)*cos(φ)$
Obrácený převod:
$a=x*cos(φ)-z*sin(φ)$
$b=y$
$h=D+x*sin(φ)+z*cos(φ)$
Transformované souřadnice po otočení dosadím do rovnice pláště kužele (6):
$x^2cos^2(φ)+z^2sin^2(φ)+2xz*sin(φ)cos(φ)+y^2=R^2(1-{D-x*sin(φ)+z*cos(φ)}/H)^2$ (7)
Takto natočený plášť kužele chci říznout rovinou z=0 a tedy dosadím do (7) a upravuju:
$x^2cos^2(φ)+y^2=R^2(1-{D-x*sin(φ)}/H)^2$
$H^2cos^2(φ)x^2+H^2y^2=R^2H^2+R^2D^2+R^2sin^2(φ)x^2-2R^2HD-2R^2H*sin(φ)x+2R^2D*sin(φ)x$
$(H^2cos^2(φ)-R^2sin^2(φ))x^2+2R^2(H-D)sin(φ)x+H^2y^2-R^2(H-D)^2=0$ (8)
Vzorec (8) je rovnicí křivky, která vznikne průnikem pláště kužele natočeného o úhel φ a roviny z=0. Zkoumáním rovnice (8) pro různé hodnoty φ bychom měli dostat rovnice kuželoseček.
Kružnice: φ=0
Pokud plášť řízne rovina rovnoběžná s podstavou, měli bychom dostat kružnici. Dosadíme do (8) φ=0:
$H^2x^2+H^2y^2-R^2(H-D)^2=0$
$x^2+y^2={R^2/H^2}(H-D)^2$
To je rovnice, která koresponduje se vztahem (1), kdy poloměr kružnice je roven ${R/H}(H-D)$.
Dvě přímky: φ=π/2
V tomto případě rovina prochází osou kužele a proto dostaneme dvě protínající se přímky. Dosaďme do (8) φ=π/2:
$-R^2x^2+2R^2(H-D)x+H^2y^2-R^2(H-D)^2=0$
$R^2(x^2-2(H-D)x)-H^2y^2+R^2(H-D)^2=0$
$R^2(x-(H-D))^2-H^2y^2=0$
$x=±{H/R}y+(H-D)$
Parabola: φ=α
Jestliže plášť kužele natočím o stejný úhel, který svírá podstava a plášť, měl bych dostat parabolu. Víme, že $tg(α)=H/R$ a tak:
$tg(α)={sin(α)}/{cos(α)}=H/R$
$R*sin(α)=H*cos(α)$
$H^2cos^2(α)-R^2sin^2(α)=0$
Výraz na levé straně je první člen v rovnici (8) po dosazení φ=α, tudíž tento koeficient u $x^2$ bude nulový. Dosadíme φ=α do zbylé části (8) a upravujeme:
$2R^2(H-D)sin(α)x+H^2y^2-R^2(H-D)^2=0$
$x=-{H^2/{2R^2(H-D)sin(α)}}y^2+{H-D}/{2sin(α)}$
Získali jsme vztah, který je podobný rovnici (4) s tím, že parabola je posunutá ve směru x-ové osy a parametr p spočítáme:
$1/{2p}=H^2/{2R^2(H-D)sin(α)}$
$p={R^2(H-D)sin(α)}/H^2$
Elipsa a hyperbola
Elipsu nebo hyperbolu bychom měli dostat ve všech ostatních případech. Nezbývá, než zkusit upravit vztah (8) do tvaru (2) nebo (3):
$(H^2cos^2(φ)-R^2sin^2(φ))(x^2+{2R^2(H-D)sin(φ)}/{H^2cos^2(φ)-R^2sin^2(φ)}x)+H^2y^2-R^2(H-D)^2=0$
$(H^2cos^2(φ)-R^2sin^2(φ))(x+{R^2(H-D)sin(φ)}/{H^2cos^2(φ)-R^2sin^2(φ)})^2-(R^2(H-D)sin(φ))^2/{H^2cos^2(φ)-R^2sin^2(φ)}+H^2y^2-R^2(H-D)^2=0$
$(x+{R^2(H-D)sin(φ)}/{H^2cos^2(φ)-R^2sin^2(φ)})^2/H^2+y^2/{H^2cos^2(φ)-R^2sin^2(φ)}=(R^2(H-D)sin(φ))^2/{H^2(H^2cos^2(φ)-R^2sin^2(φ))^2}+{R^2(H-D)^2}/{H^2(H^2cos^2(φ)-R^2sin^2(φ))}$
$(x+{R^2(H-D)sin(φ)}/{H^2cos^2(φ)-R^2sin^2(φ)})^2/{{R^2H^2(H-D)^2cos^2(φ)}/{(H^2cos^2(φ)-R^2sin^2(φ))^2}}+y^2/{{R^2(H-D)^2cos^2(φ)}/{H^2cos^2(φ)-R^2sin^2(φ)}}=1$
Pokud je to, co jsme obdrželi, rovnice elipsy, pak by musely být oba jmenovatele kladná čísla. A také vzhledem ke způsobu, který jsem použil, by hlavní osa elipsy měla splývat s x-ovou osou a tedy druhá odmocnina jmenovatele prvního zlomku (hlavní poloosa) by měla být větší než u druhého (vedlejší poloosa). V případě hyperboly, by mohl být jeden jmenovatel menší než nula. Podíváme se na to:
Je vidět, že první jmenovatel bude vždy kladné číslo, protože obsahuje součin druhých mocnin. Aby byl druhý jmenovatel větší než nula, musí platit:
$H^2cos^2(φ)-R^2sin^2(φ)>0$
$H^2/R^2>{sin^2(φ)}/{cos^2(φ)}$
$tg^2(α)>tg^2(φ)$
$α>φ$
Tedy, pokud bude úhel natočení φ menší, než je úhel, který svírá podstava s pláštěm α, potom je jmenovatel ve druhém zlomku větší než nula a může se jednat o elipsu. Podíváme se, jestli je v tomto případě první jmenovatel větší než druhý:
${R^2H^2(H-D)^2cos^2(φ)}/{(H^2cos^2(φ)-R^2sin^2(φ))^2}-{R^2(H-D)^2cos^2(φ)}/{H^2cos^2(φ)-R^2sin^2(φ)}>0$
${R^2(H-D)^2cos^2(φ)}/{H^2cos^2(φ)-R^2sin^2(φ)}(H^2/{H^2cos^2(φ)-R^2sin^2(φ)}-1)>0$
$H^2/{H^2cos^2(φ)-R^2sin^2(φ)}>1$
$H^2(1-cos^2(φ))+R^2sin^2(φ)>0$
$(H^2+R^2)sin^2(φ)>0$
Tudíž je to elipsa a v tomto případě rovnice odpovídá vztahu (2).
Jestliže bude úhel natočení φ naopak větší, než je úhel, který svírá podstava s pláštěm α, pak rovnice nabude tvaru (3) a jedná se o hyperbolu.