MATEMATIKA ELEKTRONIKA POČÍTAČE HRY OSOBNÍ KONTAKT

ZÁKLADNÍ POJMYVĚTY, POUČKY, ZAJÍMAVOSTIÚLOHYPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA VŠMATURITNÍ ZKOUŠKAPŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA SŠNÁSTROJEZÁKLADNÍ ŠKOLADOUČOVÁNÍPřidat úlohu

Maturitní zkouška z matematiky+ - rok 2018

24.1.2019

V tomto textu projdu maturitní zkoušku z matematiky z roku 2018 - jedná se o tzv. variantu Matematika+. Zadání/výsledky zde. Netuším, jak je to s autorskými právy. Proto zde zadání nebudu uvádět a pouze poskytnu webový odkaz na dané PDFko: zadání pro rok 2018 je zde.

Řešení úloh: U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10 U11 U12 U13 U14 U15 U16 U17 U18 U19 U20 U21 U22 U23

Úloha 1

Úloha 2

Použijeme známý vzorec $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$. A tedy:

Úloha 3

Pokud má být $√{n3^{1220}}=√n3^{610}$ přirozené číslo, pak musí platit, že $√n$ je přirozené číslo. Tak jsme získali první podmínku.

Druhou podmínku získáme z požadavku, aby $√^3{n3^{1220}}$ bylo přirozené číslo. Vzhledem k tomu, že $√^3{3^{1220}}=3^{1220/3}$ není přirozené číslo, pomůžeme si tak, že upravíme zápis: $√^3{n3^{1220}}=√^3{{3/3}n3^{1220}}=√^3{{n/3}3^{1221}}=√^3{n/3}3^{407}$. Pokud má být poslední výraz přirozeným číslem, musí být přirozeným číslem $√^3{n/3}$.

Označíme $a=√^3{n/3}$, kde $a$ je přirozené číslo. Potom:

Abychom nalezli nejmenší $n$ odpovídající zadání, budeme brát postupně za $a$ přirozená čísla od $1$ a dosazovat do (1). Rychle zjistíme, že oběma podmínkám vyhovuje $a=3$, $n=3*3^3=3^4=81$. První podmínka je splněna, protože $√{81}=9$ je přirozené číslo. Stejně tak je splněna i druhá podmínka, protože $√^3{81/3}=√^3{27}=3$ je přirozené číslo.

Úloha 4

Označíme příspěvky Adama, Bořka, Cyrila po řadě $A$, $B$, $C$. Cenu nákupu označíme $N$ a zbytek na dobročinnost $D$. Zadání vyjadřují následující rovnice:

Z rovnic snadno spočítáme hledané hodnoty. Nejprve $A$:

Zbývá určit $D$:

Úloha 5

Stanovíme podmínky řešitelnosti v oboru reálných čísel - pod druhou odmocninou musí být nezáporná čísla. Máme tedy $x≥-5$ a $x≥-4$. Aby byl výraz na levé straně roven nule, musí být alespoň jedna z odmocnin rovna nule, tudíž $x=-5$ nebo $x=-4$. Pokud vezmeme do úvahy podmínky řešitelnosti, získáme řešení rovnice $x=-4$.

Úloha 6

Výraz na levé straně nerovnosti má smysl pouze pokud je jmenovatel různý od nuly:

Metodou nulových bodů stanovíme, že nerovnici vyhovují $x∈(-∞;0)∪(0;3)$.

Úloha 7

Stanovíme podmínky, za kterých má rovnost smysl (logaritmus je definován pouze pro kladná čísla): $y>-1$, $x>-1$. Upravujeme rovnost:

Úloha 8

Hledaný vrchol $C$ pravoúhlého trojúhelníku $ABC$ bude ležet na Thaletově kružnici o poloměru ${|AB|}/2$ a se středem v polovině úsečky $AB$. Dále bod $Q$ leží na ose úhlu $ACB$. To znamená, že úhly $ACQ$ a $BCQ$ jsou oba rovny 45°. Dále můžeme pracovat buď s bodem $A$ nebo $B$ - zvolím $B$. Užitím věty o obvodových a středových úhlech kružnice sestrojíme kružnici se středem $S$ o poloměru $BS=QS$, přičemž středový úhel $BSQ$ bude pravý a tím pádem obvodový úhel $BCQ$ bude poloviční, t.j. 45°. Průnikem těchto dvou kružnic bude bod $C$. Zbývá maličkost: najít bod $S$. Zkonstruujeme ho tak, že bude průnikem osy úsečky $BQ$ a Thaletovy kružnice o poloměru ${|BQ|}/2$ se středem v polovině úsečky $BQ$.

Úloha 9

Zlomek vykrátíme výrazem $2^{2n}$:

Úloha 10

Hledané komplexní číslo vyjádříme v algebraickém tvaru $z=a+bi$, obě strany rovnice odmocníme a upravujeme:

Reálné a imaginární části levé a pravé strany se musejí rovnat:

Oběma podmínkám vyhovují $a=±1$ a $b=±1$, což dá dohromady 4 kombinace a hledané komplexní číslo má tedy tvar $z=±1±i$.

Úloha 11

První část. Obsah trojúhelníku $XYZ$ se spočítá jako jedna polovina krát délka strany $XY$ ($y$-ová souřadnice bodu $Y$) krát výška na stranu $XY$ ($x$-ová souřadnice bodu $Y$):

Druhá část. Abychom nalezli maximální možný obsah trojúhelníku $XYZ$, najdeme maximum funkce vyjařující závislost obsahu na $x$-ové souřadnici bodu $Y$. Spočítáme tedy první a druhou derivaci této funkce:

Druhá derivace je záporná pro všechna $x$. Maximum funkce nalezneme tak, že její první derivaci položíme rovnou nule:

Třetí část. Řešíme jednoduchou rovnici:

Získali jsme body $Y_1=[4;2]$, $Y_2=[8;1]$.

Úloha 12

První část. Poloměry kružnic tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem $q=7/8<1$. Délka první kružnice $o_1=2πr_1=8π$. Součet délek všech kružnic spočítáme ze vzorce pro součet geometrické řady:

Druhá část. Zadání lze převyprávět tak, že kružnice s indexem $1<i<21$ mají průměr větší než je poloměr první kružnice ($2r_i>r_1$) a kružnice s indexem $i≥21$ mají průměr menší než je poloměr první kružnice ($2r_i<r_1$). Pokud podmínky splní kružnice s indexem $20$ (resp. $21$), pak je automaticky splní všechny ostatní kružnice. Řešíme tedy 2 rovnice:

Získali jsme řešení $q∈(√^{19}{1/2};√^{20}{1/2})$.

Úloha 13

Počet všech možných způsobů, jakými lze karty rozdat, je $6!$. Pravděpodobnost nějakého jevu bude potom rovna podílu počtu všech možných případů, ve kterých jev nastane, ku počtu všech možných případů ($6!$).

První část. Počet možností, jak jeden hráč získá 2 konkrétní karty je $6*1*4!$, protože první kartu "vybírá" ze $6$ti karet, pro druhou kartu má jen jednu možnost (stejná jako ta první karta je už opravdu jen jedna) a zbylé $4$ karty můžou být rozdány $4!$ způsoby. Pravděpodobnost je tedy rovna ${6*1*4!}/{6!}=1/5$.

Druhá část. Počet možností je v tomto případě $6*1*(4!-8)$, protože narozdíl od situace v předchozí části, můžou být zbývající karty rozdány jen $(4!-8)$ způsoby ($4!$ je počet všech možností a $8$ je počet možností, kdy budou mít zbývající hráči $2$ stejné karty). Pravděpodobnost se v tomto případě rovná ${6*1*(4!-8)}/{6!}=2/15$.

Třetí část. Spočítám pravděpodobnost, s jakou ani jeden z hráčů nezíská stejné karty. Hledaná pravděpodobnost potom bude doplněk do $1$. Počet možností je $6*4*4*2*2$, protože první kartu vybírám ze $6$ti možností, druhou kartu ze $4$, třetí také ze $4$, pátou kartu ze $2$ možností. Výsledná pravděpodobnost bude $1-{6*4*4*2*2}/{6!}=1-8/15=7/15$.

Úloha 14

První část.

Druhá část.

Třetí část.

Úloha 15

Na základě grafů stanovíme jednotlivé funkce (řešení je potom už jednoduché):

Úloha 16

První tvrzení je nepravdivé, pokud $a<1$ nebo $b<1$. Druhé tvrzení je nepravdivé, pokud $a≤b$. Třetí tvrzení je pravdivé, protože:

Čtvrté tvrzení je nepravdivé, protože pro všechna $a$ je výraz $a^{-1}=1/a$ kladný. Páté tvrzení je nepravdivé, protože:

Úloha 17

Z obrázku zjistíme, že $2a=10$, střed elipsy má souřadnice $S[1;0]$. Spočítáme tedy $a=5$ a $b=a/2.5=5/2.5=2$. Stanovíme rovnici elipsy a budeme ji upravovat:

Úloha 18

Stanovíme směrový vektor přímky $q$: $s↖{→}=A-B=(-6;8)$. Vidíme, že platí $s↖{→}=2u↖{→}$, což znamená, že oba vektory mají stejný směr a tedy přímka $p$ je totožná s přímkou $q$ neboli vzdálenost přímek je rovna nule.

Úloha 19

Zakreslený trojúhelník $OPQ$ je jednak pravoúhlý a jednak rovnoramenný, s odvěsnami délky 6 (jednotek). Střed kružnice opsané $S$ leží ve středu úsečky $PQ$. Těžiště $T$ leží na spojnici bodů $O$ a $S$ ve vzdálenosti ${1/3}|OS|$ od bodu $S$. Tudíž užitím Pythagorovy věty snadno spočítáme $|ST|={1/3}√{{(6/2)}^2+{(6/2)}^2}={1/3}√{18}=√2$.

Úloha 20

Objem válce se spočítá jako součin obsahu podstavy a výšky. Pokud tedy označíme poloměr podstavy $r$ a výšku $h$, pak $V=πr^2h$. Ze zadání určíme objem prvního válce $V_1=πa^2{2a}$ a objem druhého válce $V_2=π{(2a)}^2a$. Poměr objemů ${V_1}/{V_2}={πa^2{2a}}/{π{(2a)}^2a}=1/2$ - objem $V_1$ je polovinou objemu $V_2$.

Úloha 21

Podstava kvádru je čtvercová, využijeme tedy symetrie v tělese a hledaná vzdálenost bodu $A$ od přímky $FH$, kterou označím $d$, bude potom rovna výšce na stranu $FH$ v trojúhelníku $AFH$ ($AF$ je úhlopříčka stěny $ABFE$). Užitím Pythagorovy věty počítám: $|HF|=√{32}$, $|AF|=√{20}$, $d=√{{|AF|}^2-{({|HF|}/2)}^2}=√{20-32/4}=√{12}=2√3$.

Úloha 22

Počet osob označíme $N$, četnost pro počet bodů $i$ budeme značit $x_i$. Aritmetický průměr je roven 1.5:

Medián je taktéž roven 1.5. To, že hodnota mediánu není rovna žádnému počtu bodů, znamená, že $N$ je sudé číslo a medián byl spočítán jako ${1+2}/2$. Z toho plyne:

Ze vztahu (2) vyjádříme $x_1$ a $x_4$ a dosadíme do (1):

Úloha 23

Pokud má jít o aritmetickou posloupnost, musí být rozdíl libovolných dvou po sobě jdoucích členů konstantní neboli musí platit $a_{i+1}-a_i=\text "konstanta"$.

První část:

Rozdíl závisí na $n$, není to tudíž konstanta a posloupnost není aritmetická.

Druhá část:

Rozdíl je konstanta, jedná se tedy o aritmetickou posloupnost.

Třetí část:

Toto je tedy též aritmetická posloupnost.